数学的帰納法で証明できます。

I(n)=∫(\(x^{n}\)*\(e^{x}\))dx とおきます。
I(n)={(-1)^(2n)}*\(x^{n}\)*\(e^{x}\)+{(-1)^(2n-1)}*n*{x^(n-1)}*\(e^{x}\)
　　　+{(-1)^(2n-2)}*n*(n-1)*{x^(n-2)}*\(e^{x}\)+...+{(-1)^(n+1)}*n!*x*\(e^{x}\)
　　　+{(-1\()^{n}\)}*n!*\(e^{x}\)+C
（これを (1) とおきます）が任意の非負の整数 n に対して成り立つことを示すのが
目標です。

I(0)=∫\(e^{x}\) dx=\(e^{x}\)+C で，\(e^{x}\)={(-1\()^{0}\)}*\(x^{0}\)*\(e^{x}\) なので n=0 のとき (1) が成り立ちます。

ある非負の整数 k について
I(k)={(-1)^(2k)}*{\(x^{k}\)}*\(e^{x}\)+{(-1)^(2k-1)}*k*{x^(k-1)}*\(e^{x}\)
　　　+{(-1)^(2k-2)}*k*(k-1)*{x^(k-2)}*\(e^{x}\)+...+{(-1)^(k+1)}*k!*x*\(e^{x}\)
　　　+{(-1\()^{k}\)}*k!*\(e^{x}\)+C
が成り立ったと仮定します。
部分積分により，
I(k+1)={x^(k+1)}*\(e^{x}\)-(k+1)I(k)
が成り立ちます。ここで I(k) に関する仮定を用いると，
I(k+1)={x^(k+1)}*\(e^{x}\)-{(-1)^(2k)}*(k+1)*{\(x^{k}\)}*\(e^{x}\)
　　　　-{(-1)^(2k-1)}*(k+1)*k*{x^(k-1)}*\(e^{x}\)
　　　　-{(-1)^(2k-2)}*(k+1)*k*(k-1)*{x^(k-2)}*\(e^{x}\)-...
　　　　-{(-1)^(k+1)}*(k+1)*k!*x*\(e^{x}\)-{(-1\()^{k}\)}*(k+1)*k!*\(e^{x}\)-(k+1)C
　　　={x^(k+1)}*\(e^{x}\)+{(-1)^(2k+1)}*(k+1)*{\(x^{k}\)}*\(e^{x}\)
　　　　+{(-1)^(2k)}*(k+1)*k*{x^(k-1)}*\(e^{x}\)
　　　　+{(-1)^(2k-1)}*(k+1)*k*(k-1)*{x^(k-2)}*\(e^{x}\)+...
　　　　+{(-1)^(k+2)}*(k+1)!*x*\(e^{x}\)+{(-1)^(k+1)}*(k+1)!*\(e^{x}\)-(k+1)C
となります。ここで，1=(-1)^(2(k+1)) と書き換え，-(k+1)C は積分定数なので
改めて C とおくことにすれば n=k+1 のときにも (1) が成り立つことがわかります。

以上により，数学的帰納法により任意の非負整数 n に対して (1) が成り立つことが
示されました。