1+\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{4}\)+…+\(\frac{1}{n}\)の和を求める式は、ないと聞きました。
でも、Sn=a\(\frac{n}{n}\)!(anは、an-1=1,an=an-1*n+(n-1)!で表される漸化式）
というのを見つけたんですが、これは意味がある式なのでしょうか。
★希望★完全解答★
1+\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{4}\)+…+\(\frac{1}{n}\)の和を求める式は、ないと聞きました。
でも、Sn=a\(\frac{n}{n}\)!(anは、an-1=1,an=an-1*n+(n-1)!で表される漸化式）
というのを見つけたんですが、これは意味がある式なのでしょうか。
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Sn=A\(\frac{n}{n}\)!は成り立た無いのでは…
nに２を代入するとSn=(\(\frac{1}{2}\))/2!=\(\frac{1}{4}\)となり
実際はSn=1+\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{3}{2}\)です。
あえてするならこのようになるのではないでしょうか。
この数列は調和数列という、等差数列の逆数を並べたものです。
なので、まずこの数列の逆数の数列、つまりもともとの等差数列を求めます。
そうすると、
1,2,3,4,………,n
よって一般項は、
Ak=1+1*(k-1)=n
つまり、与えられた数列の一般項は、
\(\frac{1}{k}\)です。
従って、求める総和は、
n
Σ \(\frac{1}{k}\)となります。
k=1
別の求め方をすると、
まず、総和の分母は、
n(n-1)(n-2)(n-3)…*3*2*1です。
又、総和の分子は、
1*2*3*…(n-3)(n-2)(n-1)\(\frac{n}{k}\)
(k=1,2,3,4,…,n)
つまり、
n
Σ 1*2*3*…(n-3)(n-2)(n-1)\(\frac{n}{k}\)
k=1
です。
これより、求めるものは
n
Σ \(\frac{1}{k}\)
k=1
となります。
ただしこれ以上いくのは、
計算しにくくなるので
ここまでが、限界だと思います。