x(x-1)は2次式であるから余りは高々1次。
したがって、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)をx(x-1)で割った商をQ(x)、余りをax+bとおくと、
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=x(x-1)Q(x)+ax+b
x=0を代入して
　1･2･3･4=0･1･Q(0)+a･0+b
　∴b=24
x=1を代入して
　2･3･4･5=1･0･Q(1)+a+b
　∴a+b=120
よって{b=24
　　　{a+b=120
　a=96
したがって余りは　96x+24

x(x-1) は2次式なので，これで割った余りは1次以下の整式になります。
P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=x(x-1)Q(x)+ax+b
とおくと，
P(0)=1*2*3*4=b より b=24，
P(1)=2*3*4*5=a+b より a=120-b=120-24=96.
よって余りは 96x+24 となります。