(x-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)=\(x^{2}\)-x+\(\frac{1}{4}\) なので，x=a, b, c を代入して得られる等式
(a-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)=\(a^{2}\)-a+\(\frac{1}{4}\)
(b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)=\(b^{2}\)-b+\(\frac{1}{4}\)
(c-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)=\(c^{2}\)-c+\(\frac{1}{4}\)
を辺々足せば，
(a-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+(b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+(c-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)=\(a^{2}\)-a+\(\frac{1}{4}\)+\(b^{2}\)-b+\(\frac{1}{4}\)+\(c^{2}\)-c+\(\frac{1}{4}\)
=(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)+\(\frac{3}{4}\))-(a+b+c).
a, b, c が実数ならば，
(a-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+(b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+(c-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)≧0
なので，
(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)+\(\frac{3}{4}\))-(a+b+c)≧0.
-(a+b+c) を右辺に移項すれば示すべき不等式が得られます。

　(左辺)-(右辺) = \(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)+\(\frac{3}{4}\)-(a+b+c)
　　　　　　　　= \(a^{2}\)-a+\(\frac{1}{4}\) + \(b^{2}\)-b+\(\frac{1}{4}\) + \(c^{2}\)-c+\(\frac{1}{4}\)
　　　　　　　　= (a-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) + (b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\) + (b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)
ここで
　(a-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)≧0、 (b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)≧0、 (b-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)≧0
であるから
　(左辺)-(右辺)≧0
　∴　\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\)+\(\frac{3}{4}\)≧a+b+c