f(x)=y=\(x^{3}\)+3p\(x^{2}\)+3px+1とおく
f'(x)=3\(x^{2}\)+6px+3p
=3(\(x^{2}\)+2px+p)　…①
極大、極小となる点をもつのでf'(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。
すなわちD/4=\(p^{2}\)-p＞0
p(p-1)＞0 ∴p＜0, 1＜p　…②
また、点A、Bの座標をそれぞれ(α, f(α)),(β, f(β))とすると、
①と解と係数の関係より、
{ α+β=-2p
{ αβ=p
点Mの座標は( (α+β)/2, (f(α)+f(β))/2) )であるから、
(α+β)/2 = -2\(\frac{p}{2}\) = -p
(f(α)+f(β))/2)
= {α^3+3pα^2+3pα+1+β^3+3pβ^2+3pβ+1}/2
= {(α^3+β^3)+3p(α^2+β^2)+3p(α+β)+2}/2
= {(α+β)(α^2-αβ+β^2)+3p(α^2+β^2)+3p(α+β)+2}/2
= {(α+β)((α+β\()^{2}\)-3αβ)+3p((α+β\()^{2}\)-2αβ)+3p(α+β)+2}/2
= {-2p((-2p\()^{2}\)-3p)+3p((-2p\()^{2}\)-2p)+3p(-2p)+2}/2
= {-2p(4\(p^{2}\)-3p)+3p(4\(p^{2}\)-2p)-6\(p^{2}\)+2}/2
= {-8\(p^{3}\)+6p+12\(p^{3}\)-6\(p^{2}\)-6\(p^{2}\)+2}/2
= {4\(p^{3}\)-6\(p^{2}\)+2}/2
= 2\(p^{3}\)-3\(p^{2}\)+1
よって点Mの座標は(-p, 2\(p^{3}\)-3\(p^{2}\)+1)
①より-p＜-1, 0＜-p,
また
2\(p^{3}\)-3\(p^{2}\)+1=-2(-p\()^{3}\)-3(-p\()^{2}\)+1
よって点Mの軌跡は
y = -2\(x^{3}\)-3\(x^{2}\)+1 (x＜-1, 0＜x)