不等号の向きは逆ではないでしょうか。つまり，正しい不等式は
sin^-1 x -x+x³≧0
ではないですか？
ともかく，こちらの不等式を証明することにします。

f(x)=arcsin x -x+\(x^{3}\) とおくと，
f'(x)=1/\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\)) -1+3\(x^{2}\).
0≦x＜1 より 0≦\(x^{2}\)＜1 ですから，0＜1-\(x^{2}\)≦1 です。
したがって，0＜\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))≦1 となり，最終的に 1/\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))≧1 を得ます。
よって 0≦x＜1 において f'(x)≧0 です。
つまり，f(x) は 0≦x＜1 において増加します。
f(0)=0 なので，0≦x＜1 で f(x)≧f(0)=0，つまり f(x)≧0 が成り立ちます。