z=a+bi を方程式に代入して実部と虚部に分けることから始めます。

i(a+bi\()^{2}\)+2i(a+bi)+\(\frac{1}{2}\)+i
=i(\(a^{2}\)+2abi-\(b^{2}\))+2ia-2b+\(\frac{1}{2}\)+i
=(-2ab-2b+\(\frac{1}{2}\))+i(\(a^{2}\)-\(b^{2}\)+2a+1)

ですから，これが 0 に等しいことから，
実部：-2ab-2b+\(\frac{1}{2}\)=0，
虚部：\(a^{2}\)-\(b^{2}\)+2a+1=0
という連立方程式を得ます。
実部の式から，ab=\(\frac{1}{4}\)-b となります。
虚部の式に \(b^{2}\) をかけると，
(ab\()^{2}\)-\(b^{4}\)+2ab*b+\(b^{2}\)=0
となるので，これに ab=\(\frac{1}{4}\)-b を代入して
(\(\frac{1}{4}\)-b\()^{2}\)-\(b^{4}\)+2(\(\frac{1}{4}\)-b)b+\(b^{2}\)=\(\frac{1}{16}\)-\(b^{4}\)=0
を得ます。
\(b^{4}\)-\(\frac{1}{16}\)=(\(b^{2}\)-\(\frac{1}{4}\))(\(b^{2}\)+\(\frac{1}{4}\))=(b-\(\frac{1}{2}\))(b+\(\frac{1}{2}\))(\(b^{2}\)+\(\frac{1}{4}\))
および b>0 より，b=\(\frac{1}{2}\) であることがわかります。
あとはこれを ab=\(\frac{1}{4}\)-b に代入すれば，
a=-\(\frac{1}{2}\) となります。