各患者が治癒するかどうかは互いに独立であるとすれば，求める確率は
₇C₅(\(\frac{2}{3}\))⁵(\(\frac{1}{3}\))²＋₇C₆(\(\frac{2}{3}\))⁶(\(\frac{1}{3}\))¹＋₇C₇(\(\frac{2}{3}\))⁷(\(\frac{1}{3}\))⁰
=2⁵{21+7*2+1*2²}/3⁷
=13*\(\frac{32}{729}\)=\(\frac{416}{729}\)
です。

余事象を考えて、
六人が治るとき、七人が治るとき
を考えます。
六人が治る確率は、
(\(\frac{1}{3}\))(\(\frac{2}{3}\)\()^{6}\)で
七人が治る確率は、
(\(\frac{2}{3}\)\()^{7}\)です。
よって
1-(\(\frac{1}{3}\))(\(\frac{2}{3}\)\()^{6}\)-(\(\frac{2}{3}\)\()^{7}\)
=\(\frac{1995}{2187}\)
これでいいと思います。