数Ⅲの範囲を逸脱した解答かもしれませんが…

直交する2つの直円柱を
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=\(a^{2}\)　…①,　\(x^{2}\)+\(z^{2}\)=\(a^{2}\)　…②
とする。平面x=0, y=0, z=0(すなわちyz平面、xz平面、xy平面)の
それぞれに関して対称であるので、
x≧0, y≧0, z≧0　について体積を求め、8倍する。
①よりy=\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\)),　②より、z=\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\))

|V|=8∫∫ z dxdy D:0≦x≦a, 0≦y≦\(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\))
D

a \(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\))
=8∫ dx ∫ \(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\)) dy
0 0

a \(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\))
=8∫ \(\sqrt{\quad}\)(\(a^{2}\)-\(x^{2}\))[y] dx
0 0

a
=8∫ (\(a^{2}\)-\(x^{2}\)) dx
0

a
=8[\(a^{2}\)*x - (\(x^{3}\))/3]
0

=8{\(a^{3}\) - (\(a^{3}\))/3}
=8*\(\frac{2}{3}\)*\(a^{3}\) = (16\(a^{3}\))/3