以下では x の 2乗を表すのに \(x^{2}\) という記法を用います。

z=5-x-y を 3x+y-z=-15 に代入して，3x+y=-15+5-x-y=-10-x-y 4x+2y=-10 より 2x+y=-5.
よって，y=-5x-2.
したがって，t を任意の実数として，
x=t, y=-2t-5, z=t+10 がこの連立方程式の任意の解。
よって，
a\(x^{2}\)+b\(y^{2}\)+c\(z^{2}\)=a\(t^{2}\)+b(2t+5\()^{2}\)+c(t+10\()^{2}\)=(a+4b+c)\(t^{2}\)+20(b+c)t+(25b+100c).
これが t の値によらずに常に 25 に等しいための必要十分条件は，
\(t^{2}\) の係数が 0 であることから，a+4b+c=0,
t の係数が 0 であることから，b+c=0,
定数項について 25b+100c=25，すなわち b+4c=1.
この連立方程式を解くと a=1，b=-\(\frac{1}{3}\)，c=\(\frac{1}{3}\).

z = kとすると
　{ x+y+k=5
　{ 3x+y-k=-15
これを解いてx = k-10, y = -2k+15, z = k

これをa\(x^{2}\)+b\(y^{2}\)＋c\(z^{2}\)=\(5^{2}\)に代入して
　a(k-10\()^{2}\)+b(-2k+15\()^{2}\)＋c\(k^{2}\)=25
　a(\(k^{2}\)-20k+100)+b(4\(k^{2}\)-60k+225)+c\(k^{2}\)=25
　(a+4b+c)\(k^{2}\)+(-20a-60b)k+100a+225b=25
kの値によらず常に成り立つためには
　{a+4b+c=0
　{-20a-60b=0
　{100a+225b=25
これを解いてa = 1, b = -\(\frac{1}{3}\), c = \(\frac{1}{3}\)