何か条件抜けてませんか？
たとえばa,b,cは正とか
　
反例　a=3,b=4,c=-5

「a, b, c が正の数のとき」というような前提条件があるはずです。
そうでないと，この不等式が成り立たない場合がでてきます。

a＞0, b＞0, c＞0 が \(a^{2}\)+\(b^{2}\)=\(c^{2}\) をみたしているとします。
ここで，a≦b として一般性を失いません。
そうすると，\(a^{3}\)≦\(a^{2}\)b ですから，
\(a^{3}\)+\(b^{3}\)≦\(a^{2}\)b+\(b^{3}\)=(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))b=b\(c^{2}\).
また，\(a^{2}\)＞0 より \(b^{2}\)＜\(a^{2}\)+\(b^{2}\)=\(c^{2}\). b, c ともに正の数なので，
これより b＜c. よって b\(c^{2}\)＜\(c^{3}\).
以上より，\(a^{3}\)+\(b^{3}\)≦b\(c^{2}\)＜\(c^{3}\).

まず条件が足りません。
a,b,cはどれも正の数
という条件で回答します。

(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{3}\)-(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)\()^{2}\)を計算して
3\(a^{2}\)\(b^{2}\)[{a-(\(\frac{b}{3}\))}^2+(\(\frac{8}{9}\))\(b^{2}\)]＞0を得ます。
すなわち
(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)\()^{2}\)＜\(c^{6}\)
a,b,cはどれも正の数だから
題意が満たされました。

（別解）
\(a^{2}\)+\(b^{2}\)=cより
a＜cかつb＜cに気付けば計算も楽になります。
\(c^{3}\)=c(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))=c\(a^{2}\)+c\(b^{2}\)＞a\(a^{2}\)+b\(b^{2}\)=\(a^{3}\)+\(b^{3}\)