f(x) に x=p, q を代入して整理すると因数分解できます：
f(p)=(p+1)(2\(p^{2}\)+q),
f(q)=q(q+1)(q+p+1).

f(q)=0 より，q=0, -1, -p-1 の3つの場合に分けて考えます。

(i) q=0 のとき，f(p)=0 に代入して 2\(p^{2}\)(p+1)=0.
これより p=0, -1 ですが，p≠q, q=0 より p=-1.

(ii) q=-1 のとき，f(p)=0 に代入すると (p+1)(2\(p^{2}\)-1)=0.
これより p=-1, \(\pm\)1/\(\sqrt{\quad}\)2 ですが，p≠-1=q より p=\(\pm\)1/\(\sqrt{\quad}\)2.

(iii) q=-p-1 のとき。これを f(p)=0 に代入すると，
(p+1)(2\(p^{2}\)-p-1)=(p+1)(p-1)(2p+1)=0.
これより p=\(\pm\)1, -\(\frac{1}{2}\).
p=1 のとき，q=-2. p=-1 のとき，q=0 (これは (i) で求めた解と同じです).
p=-\(\frac{1}{2}\) のとき，q=-\(\frac{1}{2}\) で，これは p=q となってしまい不適。

以上より，
(p,q)=(-1,0), (1,-2), (\(\pm\)1/\(\sqrt{\quad}\)2,-1).