Ｏを原点とするxy平面上の円\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=1上へ、この円の外部の点Ｐ(a,b)から２本の接線
を引き、その接点をＡ，Ｂとし、さらに線分ＡＢの中点をＱとする。
①直線ＡＢの方程式は、ax+by=1であることを示せ。
②点Ｑの座標をa,bを用いて表せ。
③点Ｐが円(x-3\()^{2}\)+\(y^{2}\)=1上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。
の②③が解りません。宜しくお願いします。
前問を含め、以前よりよくお世話になっております。これからもちょくちょくお世話に
なると思います。宜しくお願いします。
★完全解答希望★
②
Q(x,y)はAB上の点だから、
ax+by=1 …(1)
また、直線OP上の点でもあるから、
bx-ay=0 …(2)
(1)(2)の交点がQだからこれらを連立して、
(x,y)=(a/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)),b/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)))
③
②より
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)
=(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\)
=1/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))
これをもう一度②の答えに代入して、
x=a(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)) y=b(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)) ゆえに
a=x/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)) b=y/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))
この点Q(a,b)が円(x-3\()^{2}\)+\(y^{2}\)=1上を動くから、
{(x/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))-3}^2+{y/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))}^2=1
この式を変形していって、
(x-\(\frac{3}{8}\)\()^{2}\)+\(y^{2}\)=\(\frac{1}{64}\).
主夫さん解いて頂きありがとうございます。
再質問（確認）させて頂きたいです。
③
「②より \(x^{2}\)+\(y^{2}\)
=(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\)
=1/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))」
⇒この部分がいまひとつ理解できないので、すいません、
もう少し詳しくご説明していただけないでしょうか？
宜しくお願いします。
②より
(x,y)=(a/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)),b/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)))
\(x^{2}\)
={a/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))}^2
=\(a^{2}\)/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\)
\(y^{2}\)
={b/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))}^2
=\(b^{2}\)/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\)
これらを足すと，
\(x^{2}\)+\(y^{2}\)
=\(a^{2}\)/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\)+\(b^{2}\)/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\)
=(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)\()^{2}\) …ここで通分しています。
=1/(\(a^{2}\)+\(b^{2}\)) …ここで約分しています。