k/(\(n^{2}\)+\(k^{2}\))=(\(\frac{k}{n}\))*[1/({+(\(\frac{k}{n}\)\()^{2}\)}]*(\(\frac{1}{n}\))
なので，n→∞ の極限において
∑(k=1,n) は ∫[0→1] に，
\(\frac{k}{n}\) は x に，
\(\frac{1}{n}\) は dx に
それぞれおきかわるので，
lim(n→∞)∑(k=1,n) k/(\(n^{2}\)+\(k^{2}\))=∫[0→1]{x/(1+\(x^{2}\))}dx
x/(1+\(x^{2}\)) の不定積分のひとつは (\(\frac{1}{2}\))*(log(1+\(x^{2}\))) ですから，
答えは (\(\frac{1}{2}\))*log2.

Σk/(\(n^{2}\)+\(k^{2}\))=(\(\frac{1}{n}\))Σk/(n+\(k^{2}\)/n)
=(\(\frac{1}{n}\))Σ1/{(\(\frac{n}{k}\))+(\(\frac{k}{n}\))}
=∫dx/{(\(\frac{1}{x}\))+x)}=∫[x/(1+\(x^{2}\))]dx
=[(\(\frac{1}{2}\))log(1+\(x^{2}\))]
=(\(\frac{1}{2}\)){log(1+1)-log(1+0)]
=(\(\frac{1}{2}\))log2