(p,q) に関する条件を
1. p は p≧0 なる実数かつ q は実数，
かつ
2. \(p^{2}\)+\(q^{2}\)≦6
のふたつの条件に分けます。

x=p+q, y=pq とおくと，2 は \(x^{2}\)-2y≦6 と同値です。

1 の条件は次と同値です：
「\(t^{2}\)-xt+y=0 が 0 以上の実数解を少なくとも一つ持つ。」

これは y≦0 ならば常にみたされます。

次に y＞0 のとき，まず判別式が 0 以上より \(x^{2}\)-4y≧0 が得られます。
あとは解と係数の関係からふたつの解の積は y に等しく，それが 0 より大きいことから，
ふたつの解の符号が一致することになるので，0 以上の解があるためには，
ふたつの解の和が 0 以上でなければなりません。よって x≧0 となります。

というわけで，1 をみたす x, y の範囲は
y≦0（y 軸よりも下の領域全部）または
y＞0 かつ y≦\(x^{2}\)/4 かつ x≧0
となります。

ＫＩＮＯさんへ
解答ありがとうございます。
ここで再質問させて頂きます。

p は p≧0 なる実数かつ q は実数が、
なぜ「\(t^{2}\)-xt+y=0 が 0 以上の実数解を少なくとも一つ持つ。」
と、同値であるかが解らないです。すいません・・・

例えば、
p=1,q=-2のとき
x=-1,y-=-2になったりすんですが・・・

多分、初歩的な質問だと思いますが・・・

宜しくお願いします。

まず，

＞ 例えば、
＞ p=1,q=-2のとき
＞ x=-1,y-=-2になったりすんですが・・・

というコメントについては，僕には何が問題とされているのかよくわからないので
お答えできません。
ごめんなさい。

＞ p は p≧0 なる実数かつ q は実数が、
＞ なぜ「\(t^{2}\)-xt+y=0 が 0 以上の実数解を少なくとも一つ持つ。」
＞ と、同値であるかが解らないです。すいません・・・

x=p+q, y=pq とおくとき，例えば p, q が実数全体を動くとき，
x と y は「同時に」どのような値を取り得るか，
ということを考えます。
例えば x=1, y=2 となることがあるかを調べるには，1=p+q，2=pq をみたす実数 p, q
を求めることになり，
それは例えば q=1-p を 2=pq に代入して 2=p(1-p)，すなわち \(p^{2}\)-p+2=0 を解くことに
なりますが，
この方程式の判別式は負なので実数解 p は存在しません。よって (x,y)=(1,2) という点
は取りません。

この議論をふまえると，q=x-p を y=pq に代入して y=p(x-p) より \(p^{2}\)-xp+y=0 という
p に関する2次方程式を導き，
これが p≧0 なる解を持つための x, y の条件を求める必要があることがわかります。

同じ様に式変形すると，q も同じ形の方程式 \(q^{2}\)-xq+y=0 を満たしますので，
結局 \(t^{2}\)-xt+y=0 という方程式が
正の解を少なくともひとつ持つ条件を求めることになります。

なお，2次方程式の解と係数の関係を用いると，p, q は \(t^{2}\)-xt+y=0 という2次方程式の
解になることがわかります。
これはちょうど上で述べた方程式と同じものです。
ですから，上に述べたような考察を経ずに，いきなり \(t^{2}\)-xt+y=0 という方程式について
考えることもよくあり，
前回の僕の解説はその流儀に従っていたというわけです。