0以上1以下は
0より大きく1より小さい・・・かな？
ｍ＝３のとき
（１／３）＋（２／３）＝１
ｍ＝４
（１／４）＋（３／４）＝１
ｍ＝５
（１／５）＋（２／５）＋（３／５）＋（４／５）＝２
・・・・・・・・
ｍ＝１０
（１／１０）＋（３／１０）＋（７／１０）＋（９／１０）＝２

どうやら整数になりそうですね
代数学の世界になりそうです。
証明は考え中ですが・・できていません。
どなたか、お願いいたします。

分母mが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える。
次の場合を参考にしてください。
・分母が奇数の場合･･･\(\frac{1}{m}\)から(m-1)/mまで書く
　\(\frac{1}{7}\),\(\frac{2}{7}\),\(\frac{3}{7}\),\(\frac{4}{7}\),\(\frac{5}{7}\),\(\frac{6}{7}\)
　項数は偶数個で両端からの和は1になる（注目）。
　（\(\frac{1}{7}\)と\(\frac{7}{6}\),\(\frac{2}{7}\)と\(\frac{5}{7}\),\(\frac{3}{7}\)と\(\frac{4}{7}\)の組で考える）
　この2組の分数は\(\frac{n}{m}\)と(m-n)/mと表せて、
　「\(\frac{n}{m}\)が可約（約分できる）ならば(m-n)/mも可約である」は明らか。
　（n=kn',m=km'とおけばよい）
　よって、その対偶として、
　「\(\frac{n}{m}\)が既約ならば(m-n)/mも既約である」も成り立つ。
　よって、既約である組の和だから整数になる。
・分母が偶数の場合も同様に、
　\(\frac{1}{8}\),\(\frac{2}{8}\),\(\frac{3}{8}\),\(\frac{4}{8}\),\(\frac{5}{8}\),\(\frac{6}{8}\),\(\frac{7}{8}\)
　項数は奇数個で、真ん中の項\(\frac{4}{8}\)を除いて、両端からの和はやはり1になる。
　そして、真ん中の項は(\(\frac{m}{2}\))/m=\(\frac{1}{2}\)と必ず可約であるから、和の候補には入らない。
　（mは3以上の自然数という仮定がここで使われる）
以上から証明された。

あとは、厳密に証明すれば良いと思います。
また、代数学の本を見るとｵｲﾗｰ関数というのがありました。参考になるかも。