こんにちは。微分すれば確実、と思ったのですが、微分なしでも解けました。
解いてみると、なるほど、予想された答えか、と(^_^;)
(2)だけ解答を書きます。

原点をＯとして、角ＡＣＯ＝α、角ＢＣＯ＝βとする。
この時、θ＝α－βで、tanα＝\(\frac{2}{c}\)、tanβ＝\(\frac{6}{c}\) (図を描けば明らか)
そして、
tanθ＝tan(α－β)
＝{(\(\frac{6}{c}\))－(\(\frac{2}{c}\))})／{１＋(\(\frac{2}{c}\))・(\(\frac{6}{c}\))}
　　 ＝4c/(\(c^{2}\)+12)、、、、、★これは正解でしたね。
　　 ＝４/{c+(\(\frac{12}{c}\)}、、、（こう変形すると、微分なしで解けます）

θが最大になるのは、tanθが最大になるときで、
ｃ＞０を考えれば、それはつまり、c+(\(\frac{12}{c}\)）が最小になるときである。

そして、c+(\(\frac{12}{c}\)）≧２\(\sqrt{\quad}\){ｃ・(\(\frac{12}{c}\)）}＝４\(\sqrt{\quad}\)３（相加相乗平均より。）
等号はc＝\(\frac{12}{c}\)、つまりｃ＝２\(\sqrt{\quad}\)３で成立。

この時、tanθ＝１/\(\sqrt{\quad}\)３

図を考えれば、０＜θ＜π/2は明らか
（θ≧π/2となる場合、点ＣはＡＢを直径とする円の周上か内部にある必要があるが、
この円は・瓦噺鬚錣蕕覆ぁ砲覆里如△海了
　　　　 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　↑
　　　　　この部分文字化けしていましたので、お知らせ下さい。（管理人談）

θ＝π/6

これが求める最大値である。

なおこの時、α＝π／６、β＝π/３となっています。