1.
※|x|＜k ＜==＞ -k＜x＜k
|\(x^{2}\)-2x-5|＜3 すなわち -3＜\(x^{2}\)-2x-5＜3
(答えは、-3＜\(x^{2}\)-2x-5 と \(x^{2}\)-2x-5＜3 の共通部分になります)
i) -3＜\(x^{2}\)-2x-5 のとき \(x^{2}\)-2x-2＞0
x＜1-\(\sqrt{\quad}\)3、1+\(\sqrt{\quad}\)3＜x ...(1)
ii) \(x^{2}\)-2x-5＜3 のとき \(x^{2}\)-2x-8＜0
-2＜x＜4 ...(2)
(1)(2)より、-2＜x＜1-\(\sqrt{\quad}\)3、1+\(\sqrt{\quad}\)3＜x＜4 ...(答)

2. 絶対値の中が負か0以上で場合分け
i) \(x^{2}\)-8≧0 すなわち x≦-2\(\sqrt{\quad}\)2、2\(\sqrt{\quad}\)2≦x ...(1) のとき
|\(x^{2}\)-8|＝\(x^{2}\)-8 なので
|\(x^{2}\)-8|+2x＝\(x^{2}\)-8+2x＜0
これを解いて、-4＜x＜2 ...(2)
(1)(2)より、-4＜x≦-2\(\sqrt{\quad}\)2 ...(A)
ii) \(x^{2}\)-8＜0 すなわち -2\(\sqrt{\quad}\)2＜x＜2\(\sqrt{\quad}\)2 ...(3) のとき
|\(x^{2}\)-8x|＝-(\(x^{2}\)-8) なので
|\(x^{2}\)-8|+2x＝-\(x^{2}\)+8+2x＜0
これを解いて、x＜-2、4＜x ...(4)
(3)(4)より、-2\(\sqrt{\quad}\)2＜x＜-2 ...(B)

(A)(B)より、-4≦x＜-2 ...(答)

3. \(\sqrt{\quad}\)(2x+3)＞x+1 ...(※)
[A] ルートの中は負にならない(←最低限必要)
[B1] 右辺が負ならば無条件で成り立つ
[B2] 右辺が負でなければ両辺を2乗して比較する
(ルートの中は負にはならないので)
2x+3≧0 すなわち -\(\frac{3}{2}\)≦x ...(A)

i) x+1＜0 すなわち x＜-1 ...(1) のとき
\(\sqrt{\quad}\)(2x+3)≧0 なので(※)は常に成り立つ
(A)とより、-\(\frac{3}{2}\)≦x＜-1 ...(B1)
ii) x+1≧0 すなわち -1≦x ...(2) のとき
両辺ともに0以上なので、両辺を2乗して
(↑記述式の場合、これを書かないと減点になります)
2x+3＞(x+1\()^{2}\)
これを解いて、-\(\sqrt{\quad}\)2≦x≦\(\sqrt{\quad}\)2 ...(3)
(2)(3)より、-1≦x≦\(\sqrt{\quad}\)2 ...(B2)

(B1)(B2)より、-\(\frac{3}{2}\)≦x≦\(\sqrt{\quad}\)2 ...(答)