①を実際に割り算してみると、0.142857142857･･･
　142857を循環節とする無限小数になります。

②①が参考になります。
　7で割ると余りは、0,1,2,3,4,5,6のどれかで
　余り0は、割り切れたということ。
　もし割り切れなければ余りは1,2,3,4,5,6のどれかで
　すが、計算を6回以上繰り返せばこれらの余りのどれ
　かに一致しなければならず、結局同じ余りの繰り返
　しが起こる、すなわち無限循環小数になるというとです。
　また、ほぼ明らかですが、割り切れる場合は分母が2か5の場合ですよね。
　よって、分母が(\(2^{m}\))(\(5^{n}\))の形
　ただし、m,nは0以上の整数　の場合に有限小数となります。

(1)
　　・　　　　・
０．１４２８５７

(2)
分母が 2^(n) × 5^(m) ( n,m は 0以上の整数 ) であれば
有限小数であることは明らか。（この後が本題であるはず。そのため省略します。）
それ以外の分母の場合は無限小数となる。
この無限小数が必ず循環小数となることを示す。

すべての有理数が
\(\frac{1}{9}\)=0.1111…
\(\frac{1}{99}\)=0.010101…
\(\frac{1}{999}\)=0.001001…
のような 1/(10^(n)-1) と整数との積かまたは
1/((1\(0^{n}\)-1)*1\(0^{m}\)) と整数との積で表せることを示せば、
例えば 0.121212… ならば 12×\(\frac{1}{99}\) と表せることが分かる。
また、0.0121212… ならば 12×\(\frac{1}{990}\) と表せる。

つまり、分母分子に共通の数をかけることで
分母が 10^(n)-1 または (1\(0^{n}\)-1)*1\(0^{m}\) になることを示せばよい。

分母が偶数や５の倍数ならば、それぞれ ５や２を分母
分子にかけることで、1\(0^{m}\) の因数が出来るため、
偶数と５の倍数以外の任意の整数が 1\(0^{n}\)-1 の
形の倍数をもつことを示す。

偶数と５の倍数以外の任意の整数を p とおく。
ここで p 個の箱を用意し、ぞれぞれに
0,1,2,…p-1 の番号をつけておく。
この箱に p+1 通りの以下の割り算
1÷p , 11÷p , 111÷ p, … ,(11…1)÷p
の余りを、その番号がつけられた箱に入れていく。
すると、少なくとも１つの箱には２つ以上の数
が入っている。
その中の２つの割り算を x÷p , y÷ p (x>y) とすると 、
x-y は p で割ったときの余りが等しいため、x-y は p で割り切れる。
ここで、x-y は上位の位の数は 11…1 であり、下位の位の数は 00…0 である。
ところが、p は ２と５の倍数でないため、この上位の位の数11…1 は
p の倍数であることが分かる。
つまり、p の倍数の中に 11…1 という数が必ず存在する。
それを 9 倍すれば 99…9 であるため、
任意の p は 10^(n)-1 という倍数を持つことが分かった。

鳩ノ巣原理を用いています。
もっと簡単な方法があると思いますが、
こんな方法しか思いつきませんでした。