Z=sin(x)+sin(y)
=sin(x)+sin(π/3-x)
=sin(x)+sin(π/3)cos(x)-cos(π/3)sin(x)
=sin(x)+(\(\sqrt{\quad}\)3 /2)cos(x)-(\(\frac{1}{2}\))sin(x)
=(\(\frac{1}{2}\))sin(x)+(\(\sqrt{\quad}\)3 /2)cos(x)
=sin(x+π/3)
であるから、-1≦Z≦1

ｘ、ｙがｘ+ｙ＝π/3をみたしながら動くとき
Ｚ＝sinｘ+sinｙの動く範囲を求めよ。

y=π/3-x をZの式に代入すると，
Z=sinx+sin(π/3-x)
=sinx+(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))*sinx-(\(\frac{1}{2}\))*cosx
={(\(\sqrt{\quad}\)3+1)/2}*sinx-(\(\frac{1}{2}\))*cosx
=\(\sqrt{\quad}\){((\(\sqrt{\quad}\)3+1)/2\()^{2}\)+(\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)}sin(x+α) 　ここで合成しています。（ただしsinα=…）
=\(\sqrt{\quad}\)(5+2\(\sqrt{\quad}\)3)/2sin(x+α)

よって
-\(\sqrt{\quad}\)(5+2\(\sqrt{\quad}\)3)/2≦Z≦\(\sqrt{\quad}\)(5+2\(\sqrt{\quad}\)3)/2
なんか妙な問題ですね，勘違いしてたらごめんなさい。

y=π/3-x をZの式に代入すると，
Z
=sinx+sin(π/3-x)
=sinx+(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))*sinx-(\(\frac{1}{2}\))*cosx →誤

=sinx+(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{3}{2}\))*cosx-(\(\frac{1}{2}\))*sinx →正

加法定理を間違えていました。訂正してお詫びします。
以下、UnderBirdさんの解答に倣ってください。