ｍがｍ＞0の範囲を動くとき、
直線ｙ＝ｍｘ+ｍ＾2の通り得る範囲を求めｘｙ平面上に図示せよ。

\(m^{2}\)+xm-y=0 が m＞0 の解を持つようにすればよい。
D=0 の場合、その解が m＞0 であればよいので
\(x^{2}\)+4y=0 かつ -\(\frac{x}{2}\)＞0
つまり放物線 y=-\(\frac{1}{4}\) \(x^{2}\) の x＜0 の部分
これと
D＞0 の場合
　２つともに解が正である
　　 \(x^{2}\)+4y＞0 かつ -\(\frac{x}{2}\)＞0 かつ -y＞0
　つまり
　　y＞-\(\frac{1}{4}\) \(x^{2}\) かつ x＜0 かつ y＜0
　１つが正で１つが負である
　　\(x^{2}\)+4y＞0 かつ -y＜0
　つまり
　　y＜-\(\frac{1}{4}\) \(x^{2}\) かつ y＞0 これはない！

これより
　・放物線 y=-\(\frac{1}{4}\) \(x^{2}\) の x＜0 の部分
　・y＞-\(\frac{1}{4}\) \(x^{2}\) かつ x＜0 かつ y＜0
をあわせた
　y＞= -\(\frac{1}{4}\) \(x^{2}\) の x＜0 かつ y＜0 の部分

いかがですか？

こんにちは。
「直線の通り得る範囲」とは、数学的にどんな条件を満たせばよいのか、
を考えるのが第１のポイントです。
　題意の直線がある点Ｐ（ｘ、ｙ）を通れる、とは、言い換えれば、

適当なｍを選べば、等式　ｙ＝ｍｘ+ｍ＾2　が成り立つ、、、★

ということです。ただし、問題の条件からｍ＞０とします。

　逆に、ｍ＞０であるどんなｍをもってきても、この等式が成り立たないなら、
題意の直線は、点Ｐ（ｘ、ｙ）を通れません。

　★はつまり、下野さんが＜３３８４＞の解答に書かれたように、
　
方程式　ｍ＾2＋ｍｘ－y＝０が、正の解を少なくとも一つ持つ、、★★
ことと同じです。
　なお、以下では説明の便宜のため、方程式の左辺≡ｆ(ｍ)と書きます。
　さて、★★が成り立つには、まず
f(m)＝(m＋\(\frac{x}{2}\)\()^{2}\)－(\(x^{2}\)＋４y)＝０
が(正であろうが負であろうがとにかく）
解を持つことが必要です。
これはつまり、\(x^{2}\)＋４y≧０、、、①
を意味します。

　さらに、解の１つは正でないといけません。解の正負を調べるため
放物線　f(m)＝０　の軸に注目します。軸の方程式ははもちろん、
ｍ＝-\(\frac{x}{2}\)ですね。
　解の片方は必ず軸より右側、または軸と同じ位置（重解のとき）にあるわけですから、

（ａ)－\(\frac{x}{2}\)＞０つまりｘ＜０なら、条件①の下で常に題意を満たす。

（ｂ）－\(\frac{x}{2}\)＝０　つまりｘ＝０なら重解だと解は０のみとなり不適。重解でなければ
解の１つは常に正で、題意を満たす。これはつまり、
\(x^{2}\)＋４y＝４ｙ＞０　を意味します。

（ｃ）－\(\frac{x}{2}\)＜０、つまりｘ＞０なら、f(m)＝０が正の解を持つ必要十分条件は
f(０)＝－ｙ＜０、つまりｙ＞０です。
(理由：f(m)はｍ＞－\(\frac{x}{2}\)で単調に増加しますから、
f(０)≧０だと、m＞０の時、常にf(m)＞０となって、正の解はありません。
一方、十分大きい正の数Ｍを取れば、f(M)＞０となるのは明らかですから、
f(０)＜０ならば、f(m)＝０は、　０とＭの間に解を持ちます)。
このとき、自動的に\(x^{2}\)＋４y＞０も満たしています。

まとめると、求めるｘ、ｙの範囲は

（１）ｘ＜０かつ\(x^{2}\)＋４y≧０
（２）ｘ≧０かつｙ＞０
のどちらかを満たす場合、ということになります。

　なお、下野さんの答えでは、題意の直線は第１象限も第２象限も通れなくなります。
計算違いをされたようですね。