今私は夏休み中なので、暇ですから質問を歓迎します。
１）なぜ、さっきまで「2 ≦ n ≦ 366」だったのに、
　　今度は「2 ≦ n ≦ 365」なんでしょうか？

　　　　　p(n+1) / p(n) と 1 との大小関係を調べるので、
　　　　　ｎが３６６番目だとすると、３６７番目の人の確
　　　　　率と比較しなければならないが、これは確率０な
　　　　　ので比較の意味がない。そこで、この比較計算の
　　　　　ときは、範囲を３６５番までとするのです。

２）p(n+1) / p(n) ＞1とは「自分の1人後ろの人の賞品をも
　　らえる確率が自分のより大きい」ということなんですか？
　　（「p(n+1)」というのは、自分のすぐ後ろの人が賞品を
　　もらえる確率のことですよね？？

　　　　　その通りです。

３）「p(n+1) / p(n)＝(367-n-1)*n / 365*(n-1) となります。
　　２次不等式を解いて、ｎ＝２０を見つけるわけです。」
　　とは、どうやってｎを計算するんですか？

　　　　　2 ≦ n ≦ 365の範囲内で、p(n+1) / p(n) ＞1を計
　　　　　算してみましょう。
　　　　　　　　365　　364　363　　　366-(n-1)　366-ｎ　　ｎ
　　　　　　　　──・──・──・・─────・───・───
　　　ｐ（n+1)　365　　365　365　　　　365　　　　365　　365
　　　────＝────────────────────────
　　　ｐ（ｎ）　365　　364　363　　　366-(n-1)　n-1
　　　　　　　　──・──・──・・─────・──
　　　　　　　　365　　365　365　　　　365　　　365
　　　　　これを約分すると、
　　　　　p(n+1) / p(n)＝(366-n)*n / 365*(n-1)
　　　　　となる。p(n+1) / p(n) ＞1より
　　　　　(366-n)*n / 365*(n-1)＞1
　　　　　(366-n)*n ＞ 365*(n-1)
　　　　　366n-n²＞365n-365
　　　　　n²-n-365<0　という２次不等式が出来上がる。
　　　　　n²-n-365=0を解の公式を使って解くと、
　　　　　n=（1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)1461）/2≒-18.6,19.6
　　　　　n²-n-365<0　の解の範囲は、-18.6＜ｎ＜19.6
　　　　　2 ≦ n ≦ 365の範囲内で、またｎは整数より、
　　　　　∴2 ≦ n ≦ 19
　　　　　p(n+1) / p(n) ＞1は、後ろの人の確率が大きいのだから
　　　　　n=19のとき、後ろの20番目の確率が大きくなる。

　　　　　p(n+1) / p(n) ＜1も同様に解くと、ｎ＜-18.6，19.6＜ｎ
　　　　　∴20≦n≦365
　　　　　こちらは、後ろの人の確率が小さくなるから、n=20のとき
　　　　　が確率が一番大きい。

　　　　　以上より、ｎ＝20となる。

４）あと、ＢＡＳＩＣのプログラムとは何ですか？
　　手で3.23%を出すことは出来るのですか？

　　　　　MS-BASICのプログラムで計算します。
　　　　　100　P=1:A=0
　　　　　110　FOR K=365 TO (366-19) STEP -1
　　　　　120　　　P=P*K
　　　　　130　NEXT K
　　　　　140　A=P*\(\frac{19}{36}\)\(5^{20}\)
　　　　　150　PRINT A
　　　　　160　END
　　　　　これを実行すると、3.23％が求まりますが、
　　　　　関数電卓でもできます。
　　　　　₃₆₅P₁₉×１９÷365²⁰
　　　　　という具合に、順列と指数計算をするので、とても手では
　　　　　できませんね。

やっと終わってホッとしました。