ｆ_(n)（x，y）＝\(x^{n}\)＋\(y^{n}\)　（n＝１,２,３,・・・）
は、u＝x+y v＝xy 　
の多項式の形で表されることを証明せよ。

(\(x^{n}\)+\(y^{n}\))(x+y)-xy(x^(n-1)+y^(n-1))
=x^(n+1)+y^(n+1)
であるから
f_(n+1) (x,y)=uf_(n)(x,y)+vf_(n-1)(x,y) …①
が成り立つ。
ここで
f_(1)(x,y)=u
f_(2)(x,y)=\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=(x+y\()^{2}\)-2xy=\(u^{2}\)-2v
であるから、①より
f_(3)(x,y)=uf_(2)(x,y)+vf_(1)(x,y)
=u(\(u^{2}\)-2v)+vu=\(u^{3}\)-uv
f_(4)(x,y)=uf_(3)(x,y)+vf_(2)(x,y)
=u(\(u^{3}\)-uv)+v(\(u^{2}\)-2v)
=…
というようにｆ_(n)（x，y）は
u,vの多項式で表されることが分かる。
あとはこれを帰納法か何かで示せばよいでしょう。

数学的帰納法で証明します。
ただ、ノーマルタイプではできません。
数学的帰納法の方法は

（１）①P(1)が真
　　　②P(k)が真だと仮定したときP(k+1)が真
　　　①②よりすべてのnでP(n)は真
これがノーマルタイプですね。

（２）①P(1),P(2),・・・,P(r)が真
　　　②P(k),P(k+1),・・・,P(k-1+r)が真だと仮定し
　　　　たとき、P(k+r)が真
　　　①②よりすべてのnでP(n)は真
これを「並列型」とでも呼びましょう

（３）①P(1)が真
　　　②P(1),P(2),・・・,P(k)が真だと仮定したとき
　　　　P(k+1)が真
　　　①②よりよりすべてのnでP(n)は真
これを「累積型」とでも呼びましょう

この問題では、（２）「並列型」で、r=2として証明します。

（解答）
① n=1のとき
\(f_{1}\)(x,y)=x+y よりuの多項式で表される。
n=2のとき
\(f_{2}\)(x,y)=\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=(x+y\()^{2}\)-2xy　より、u,vの多項式で表される。
② n=k,k+1のとき\(f_{n}\)(x,y)がu,vの多項式で表されると仮定する。
n=k+2のとき
\(f_{n}\)(x,y)=x^(k+2)+y^(k+2)
={x^(k+1)+y^(k+1)}(x+y)-x^(k+1)y-xy^(k+1)
={x^(k+1)+y^(k+1)}(x+y)-xy(\(x^{k}\)+\(y^{k}\))
=\(f_{k}\)+1(x,y)・(x+y)-xy・\(f_{k}\)(x,y)
①②よりすべての正の整数ｎについて
f_(x,y)はu，vの多項式で表される。