とても難しそうですね。
高校の範囲では、ｎ＝４の場合を扱っているようです。
特にこの場合の曲線を「アステロイド」と言います。
一般形については、大円と小円の半径の比によって
色々あるようですが、
極座標を用いた媒介変数表示をするのが一般的なようです。
私も証明など詳しいことは説明できませんので、
「アステロイド」「内サイクロイド」などと検索してみるといいと思います。

質問＜３４０２＞の問題の意味を取り違えていました。
私が書いたアドバイス（といえるほどのものではありませんが）は
「外接しながら・・・」ではなく「内接しながら・・・」の場合ですので、
不適切です。

しかし、解答の道筋が少しだけ見えてきました。
まだ時間はかかりますが、何とか解答したいと思っています。