x,y,zをx＜y＜zなる自然数とする。
(\(\frac{1}{x}\))+(\(\frac{1}{y}\))+(\(\frac{1}{z}\))=（\(\frac{1}{2}\)）を満たすx,y,zの組(x,y,z)の中で、
xが最大となる組を全て求めよ。

0＜x＜y＜z より \(\frac{1}{x}\)＞\(\frac{1}{y}\)＞\(\frac{1}{z}\) であるから
\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x}\) ＞ \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{3}{x}\) ＞ \(\frac{1}{2}\)
6 ＞ x
よって x=1,2,3,4,5
x=5 のときを考えると
\(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{y}\) ＞ \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{y}\) ＞ \(\frac{3}{10}\)
y ＜ \(\frac{20}{3}\)=6.…
x＜y であるから y=6 しかありえない。
ところが
\(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{z}\) =\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{z}\) = \(\frac{2}{15}\)
であるから、z =\(\frac{15}{2}\) となり不適
x=4 の場合は
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{z}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{y}\) + \(\frac{1}{y}\) ＞ \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{y}\) ＞ \(\frac{1}{4}\)
y ＜ 8
y=5,6,7 が考えられる。
以下同様に行えばよい。
y=5 は不適 , y=6 は z=12 で適する
y=7 は不適
以上より (x,y,z)=(4,6,12)

ｘ，ｙ，ｚは自然数で、ｘ＜ｙ＜ｚより
（１／ｘ）＜（１／ｘ）＋（１／ｙ）＋（１／ｚ）＜（３／ｘ）
すなわち
（１／ｘ）＜（１／２）＜（３／ｘ）
この不等式を解くと
２＜ｘ＜６
よって、ｘの取りうる値は、３，４，５のどれかです。
問題は、ｘが最大となる組なので
①ｘ＝５のとき
　（１／５）＋（１／ｙ）＋（１／ｚ）＝１／２
　これを整理して
　（３ｙ－１０）（３ｚ－１０）＝１００
　ｘ＜ｙ＜ｚを満たす自然数解はない。
②ｘ＝４のとき
　同様にして
　（ｙ－４）（ｚ－４）＝１６
　（ｙ，ｚ）＝（５，２０），（６，１２）
以上から
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（４，５，２０），（４，６，１２）