１
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ―｛（ｅ＾ｘ+ｈ）＾２＋（ｅ＾ｘ）＾２｝とするとき、
ｈ→０ ｈ
次の問いに答えよ。
（１）ｆ（ｘ）を求めよ
１ ｘ+h
（２）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ ―∫ ｆ（ｔ）ｄｔを求めよ。
ｈ→０ ｈ ｘ
（３）ｋ（ｘ）＝２ｇ（ｘ）＋ｅ＾（-ｘ）とするとき、
ｋ（ｘ）の最小値および最小値を与えるｘの値を求めよ。
ちなみに答えは、
（１）ｆ（ｘ）＝２ｅ＾２ｘ
（２）ｇ（ｘ）＝２ｅ＾２ｘ
（３）ｘ＝－log２のとき最小値３
なのですが途中のやり方がわからないので教えてください。
最近寒くなってきましたが風邪をひかぬようお気を付けください。
１
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ―｛（ｅx+h）2 ＋（ｅx）2 ｝とするとき、
ｈ→０ ｈ
問題のｆ（ｘ）はどう変形しても、答えのｆ（ｘ）＝２ｅ2xになら
なかったが、符号をマイナスにしたらできたので、問題の間違いではな
いでしょうか？
以下、マイナスとして解いていきます。
問１
１
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ―｛（ｅx+h）2 －（ｅx）2 ｝とするとき、
ｈ→０ ｈ
１
＝ｌｉｍ ―（ｅ2x+2h－ｅ2x）
ｈ→０ ｈ
１
＝ｅ2x・ｌｉｍ ─（ｅ2h－１）
ｈ→０ ｈ
２
＝ｅ2x・ｌｉｍ ──（ｅ2h－１）
2h→０ ２ｈ
＝２ｅ2x ……（答）
使われた公式は １
ｌｉｍ ─（ｅh－１）＝１
ｈ→０ ｈ
です。
問２
１ ｘ+h
ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ ―∫ ｆ（ｔ）ｄｔ
ｈ→０ ｈ ｘ
１ ｘ+h
＝ｌｉｍ ―∫ ２ｅ2tｄｔ
ｈ→０ ｈ ｘ
２ｔ＝ｙとおくと、２ｄｔ＝ｄｙ
ｔ｜ ｘ→ ｘ＋ｈ
──────────
ｙ｜２ｘ→２ｘ＋２ｈ
１ 2x+2h
ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ ―∫ ｅyｄｙ
ｈ→０ ｈ 2x
１ 2x+2h
＝ｌｉｍ ─ ［ｅy］
ｈ→０ ｈ 2x
１
＝ｌｉｍ ―（ｅ2x+2h－ｅ2x）
ｈ→０ ｈ
＝ｆ（ｘ）＝２ｅ2x ……（答）
問３ｋ（ｘ）＝２ｇ（ｘ）＋ｅ-x
＝２・２ｅ2x＋ｅ-x
ｋ′（ｘ）＝４・２・ｅ2x－ｅ-x
＝８ｅ2x－ｅ-x
ｋ′（ｘ）＝０より、
８ｅ2x－ｅ-x＝０
両辺にｅxをかけて
８ｅ3x－ｅ0＝０
８ｅ3x－１＝０
１ １
ｅ3x＝─＝（─）3
８ ２
１
ｅx＝──
２
したがって、
１
ｘ＝ｌｏｇe──＝－ｌｏｇe２＝－ｌｎ２
２
増減表を作って、
ｘ ｜ ……… ｜ －ｌｎ２ ｜ ………
────────────────────────
ｋ′（ｘ）｜ － ｜ ０ ｜ ＋
────────────────────────
ｋ（ｘ） ｜ 減 少 ｜ 極小・最小｜ 増 加
ｋ（－ｌｎ２）＝４ｅ-2ln2＋ｅln2
＝４ｅln(\(\frac{1}{4}\))＋ｅln2
＝４・（１／４）＋２
＝１＋２
＝３
∴ｘ＝－ｌｎ２のとき、最小値３ ……（答）