問題が間違っていると思います。
本当に多いですね。。。
∠ADB＝∠BDC＝90°でしょう。
でないとAB=BC になりません。

これで解くと
(1) B から AC に垂線をおろし、その交点を I とすると
　　AI=IC=\(\sqrt{\quad}\)5 であるから、三平方の定理より BI=\(\sqrt{\quad}\){\(3^{2}\)-(\(\sqrt{\quad}\)5\()^{2}\)}=2
　　よって △ABC=2\(\sqrt{\quad}\)5×2×\(\frac{1}{2}\)=2\(\sqrt{\quad}\)5
(2) 底面を ADC として考えると、
　　∠ADB＝∠BDC＝90°より BD が高さであるから
　　底面 ADC の面積を求めればよい。
　　(1) 同様にして二等辺三角形の面積を求めると
　　DI=\(\sqrt{\quad}\){(2\(\sqrt{\quad}\)2\()^{2}\)-(\(\sqrt{\quad}\)5\()^{2}\)}=\(\sqrt{\quad}\)3 より △ADC=2\(\sqrt{\quad}\)5 × \(\sqrt{\quad}\)3 ×\(\frac{1}{2}\)=\(\sqrt{\quad}\)15
　　よって体積は \(\sqrt{\quad}\)15 ×1 × \(\frac{1}{3}\)=(\(\sqrt{\quad}\)15)/3
(3) DH は底面を ABC としたときの四面体の高さと考えられるため
　　(\(\sqrt{\quad}\)15)/3 = 2\(\sqrt{\quad}\)5 × DH × \(\frac{1}{3}\) より DH=(\(\sqrt{\quad}\)3)/2