f(x)=2xy/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)) (x,y)≠(0,0)
=0 (x,y)=(0,0)
とおく。
偏微分fx(0,0) fy(0,0)が、求まることを示せ。
レポートの問題なのですが、しっくりきません。
よろしくお願いします。
★完全解答希望★
f(x)=2xy/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\)) (x,y)≠(0,0)
=0 (x,y)=(0,0)
とおく。
偏微分fx(0,0) fy(0,0)が、求まることを示せ。
レポートの問題なのですが、しっくりきません。
よろしくお願いします。
★完全解答希望★
偏微分の定義に戻って考えると
\(f_{x}\)(0,0)=lim(h→0){f(0+h,0)-f(0,0)}/h
=lim(h→0){0-0}/h
=0
\(f_{y}\)(0,0)も同様
すなわち、y=0は固定して、xのみをx=0に近づけていくのが、\(f_{x}\)(0,0)
x=0を固定して、yのみをy=0へ近づけていくのが\(f_{y}\)(0,0)
ちなみに、y=axに沿って原点に近づけると極限値が
2xy/(\(x^{2}\)+\(y^{2}\))=2a/(1+\(a^{2}\))となるので連続ではなく、全微分可能ではない。
{f(h,0)-f(0,0)}/h=0だから、fx(0,0)=0
{f(0,h)-f(0,0)}/h=0だから、fy(0,0)=0