(1)
複素数1+3iを解にもつ実数係数のxの２次方程式で、
\(x^{2}\)の係数が1であるものを求めよ。
(2)
a,bを実数とする。４次方程式\(x^{4}\)-\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)+ax+b=0が1+3iを解にもつとき,
a,bの値を求めよ。また、そのときの他の解を求めよ。
(1)
⇒\(x^{2}\)-2x+10=0と求まりました。
(2)
⇒1+3iを代入して、a=22,b=-58が求まりました。共役な複素数も解に持つので、
元の方程式は^2-2x+10を因数に持つという考えでもっていこうと思ったのですが、
上手く解がでません。たぶん計算ミスかもしれませんが、完全解答お願いします。
★完全解答希望★
（１）は正解だと思います。
共役な複素数も解ですから
解と係数の関係からすぐ求まりますね。
（２）ですが
考え方は正しいと思います。
なにか計算違いされたのでは？
\(x^{4}\)-\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)+ax+b を
\(x^{2}\)-2x+10 で単純に割り算してみてください。
余りは
（ａ－２２）ｘ＋ｂ＋６０となると思います。
これが恒等的に０になるのだから
ａ＝２２，ｂ＝－６０
これらを元の式に代入して
もう一度 \(x^{2}\)-2x+10 で割り算すると
うまく因数分解できて
(\(x^{2}\)-2x+10)(x+3)(x-2)=0
従って残りの解は
共役な複素数解も含めて
x=1-3i,-3,2
となるものと思います。