次の条件を満たす数列｛\(a_{n}\)｝，｛\(b_{n}\)｝がある。
a_（n+1）=a_\(n^{2}\)＋3b_\(n^{2}\)
b_（n+1）=2a_\(n^{2}\)＋b_\(n^{2}\)
\(a_{0}\)＝1
\(b_{0}\)＝2
このとき、\(a_{n}\) ， \(b_{n}\)を４で割った余りを求めよ。
★完全解答希望★
次の条件を満たす数列｛\(a_{n}\)｝，｛\(b_{n}\)｝がある。
a_（n+1）=a_\(n^{2}\)＋3b_\(n^{2}\)
b_（n+1）=2a_\(n^{2}\)＋b_\(n^{2}\)
\(a_{0}\)＝1
\(b_{0}\)＝2
このとき、\(a_{n}\) ， \(b_{n}\)を４で割った余りを求めよ。
★完全解答希望★
与えられた漸化式に従って計算すると
a(1)=13で4で割った余りは1
b(1)=6で4で割った余りは2
a(2)=277で、やはり余りは1
b(2)=374で、やはり余りは2
どうやら
a(n)を4で割った余りは1
b(n)を4で割った余りは2
になりそうです。
これを数学的帰納法で証明すればＯＫですね。
n=0,1,2の時は
a(n)を4で割った余りは1
b(n)を4で割った余りは2
であることは、上で分りました。
(n=0の時だけ言えば十分ですけど）
n=kのとき成り立つと仮定すると
a(k)=4N+1
b(k)=4M+2 N，Mは整数
（実際は、N,Mは漸化式から帰納的に自然数）
とおくことができます。
これを与えられた漸化式に代入すると
a(k+1),b(k+1)についても成り立つことは容易に分ります。
是非確かめてください。