こんにちは。完全解答希望、ということですが、この問題でそれをやっては
面白くありません。中学生レベルの知識で解けますから。
　そこでヒントだけ。
　次のような問題を考えてみましょう。

（１）正３角形、正方形、正５角形、正６角形はそれぞれ、１点の回りに隙間なく
　　　敷き詰められるか。理由をつけて答えよ。
（２）ｎ≧７の正ｎ角形で、１点の周りに敷き詰められるものがあるか。あるなら
　　　そのｎを示せ。なければ、ない理由を答えよ。
　
　このくらい考えれば、元の問題が解けるでしょう。
　なお、似たような考え方で「正ｎ面体の種類を全て挙げ、他にない理由を説明せよ」
というのも解けるはずです。
昔、矢野健太郎先生の素人向け数学解説本で読みました。

正a角形の一つの角の求め方は、
{(a-2)*180}/aであるのはよろしいでしょうか。
これが分かれば、単純です。
一点の周りは、360°です。
{(a-2)*180}/a°がbこあって360°なので、
ｂ{(a-2)*180}/a=360で関係式が出来ます。
(a,b)を全て求めるには、
360の約数を書き出して、
aに代入していきます。
答えはa=3,4,5,6です。

正a角形の外角の大きさは、(180°-(360°/a))
1つの点の周りにb個の角が集まれば、
{180°-(360°/a)}b=360°
180°{a-2}b=360°a
(a-2)b=2a
ab-2b-2a=0
(a-2)(b-2)=4
(a,b)=(3,6),(4,4),(6,3)

まず地道にやってみましょう。
正ａ角形と言うからには、ａはａ≧３の整数。
一点の周りにすき間なく敷き詰めるのだからｂはｂ≧３の整数。
正ａ角形のひとつの内角は
１８０－３６０／ａなので
ｂ＝３６０／（１８０－３６０／ａ）・・・①
①が正の整数となればいいわけです。

ａ　　　１８０－３６０／ａ　　　ｂ
-----------------------------------
３　　　　　　６０　　　　　　　６
４　　　　　　９０　　　　　　　４
５　　　　　１０８　　　　　　１０／３
６　　　　　１２０　　　　　　　３
７以上　　　　　　　　　　　　　不適

したがって
（ａ，ｂ）＝（３，６），（４，４），（６，３）
となります。

もう少し工夫すると
①を整理すると
（ａ－２）（ｂ－２）＝４・・・②
となります。
②を満たす正の整数ということで直ちに答が導かれます。