問題がどこかおかしいと思います。
ａ、ｂが実数の時\(\sqrt{\quad}\)ｂ／ａ≠\(\sqrt{\quad}\)ｂ/\(\sqrt{\quad}\)ａとなるのは
どのようなときか？？
虚数単位はないのですか？
\(\sqrt{\quad}\)-ａ＝\(\sqrt{\quad}\)ａｉと定める　は何のためにあるのかなぁ？

ａ＞0、ｂ≧0のとき、\(\sqrt{\quad}\)ｂ／ａ＝\(\sqrt{\quad}\)ｂ/\(\sqrt{\quad}\)ａが成り立つことは既知としてよい。
これも一般に成り立ちません。
ａ＝２，ｂ＝１のとき
１／２＝１／\(\sqrt{\quad}\)２　とはなりません。

問題を正しく書いてください。

たとえば
\(\sqrt{\quad}\)-(\(\frac{1}{2}\))={\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{1}{2}\))} i
\(\sqrt{\quad}\)1/\(\sqrt{\quad}\)(-2)=1/{(\(\sqrt{\quad}\)2)i}=i/{(\(\sqrt{\quad}\)2)\(i^{2}\)}=-{i\(\sqrt{\quad}\)2}/2
よって、\(\sqrt{\quad}\)ｂ／ａ≠\(\sqrt{\quad}\)ｂ/\(\sqrt{\quad}\)ａ