f(x)=a\(x^{2}\)+bx+c だとします。

関数f(x)とg(x)は関係式　\(x^{3}\)f(x)=(x-1)g(x)　を満たす。
また、g(1)=1とする。

(1) 与えられた関係式において x=1 を代入すると，a+b+c=f(1)=0.

(2) (1) の結果から，b=-a-c なので，f(x)=a\(x^{2}\)-(a+c)x+c=(ax-c)(x-1).
これと \(x^{3}\)f(x)=(x-1)g(x) より，g(x)=\(x^{3}\)(ax-c).
1=g(1)=a-c より c=a-1.

(3) g(x)-1=\(x^{3}\)(ax-a+1)=a\(x^{4}\)-a\(x^{3}\)+\(x^{3}\)-1.
これを (x-1\()^{2}\) で割ると，割り算により余りは (a+3)x-(a+3).
よって a=-3. c=a-1=-4, b=-a-c=7.

まず問題文の中で，aがわからないので，f(x)=a\(x^{2}\)+bx+c であると仮定します。
(2)
(1)よりb=-a-c
f(x)
=a\(x^{2}\)-(a+c)x+c
=(ax-c)(x-1)
よって
\(x^{3}\)f(x)=(x-1)g(x)
(\(x^{3}\))(ax-c)(x-1)=(x-1)g(x)
(\(x^{3}\))(ax-c)=g(x)
x=1を代入
a-c=g(1)=1
∴c=a-1

(3)
(2)より得られたc=a-1を元の式に代入すると，
(\(x^{3}\))(ax-a+1)=g(x)
つまり
g(x)-1
=(\(x^{3}\))(ax-a+1)-1
=a\(x^{4}\)+(1-a)\(x^{3}\)-1
これが(x-1\()^{2}\)を因数に持つから，
組み立て除法を２回やってでた余り
3+a=0 となる。
∴a=-3

余りを求めるには，組み立て除法を用いずに，
実際に a\(x^{4}\)+(1-a)\(x^{3}\)-1 を(x-1\()^{2}\) で割ってみてもいいです。
いずれにしてもあまりかっこいい解答じゃないですけど。