(1)
x=1+i より
x-1=i 両辺を２乗して整理すると，
\(x^{2}\)-2x+2=0
つまり，①は(\(x^{2}\)-2x+2)を因数に持つ。
実際に(\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+bx+c)を(\(x^{2}\)-2x+2)で割ってまとめると，
\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+bx+c=(x+2a+2)(\(x^{2}\)-2x+2)+(2a+b+2)x+(c-2a-4)　…②
よって実数解はx=-2a-2

(2)
②において
2a+b+2=0
c-2a-4=0
さらに\(x^{2}\)-bx+3=0がただ１つの解を共有するためには，
複素数解では共役な複素数も同時に解になってしまうため，
\(x^{2}\)-bx+3=0 は x=-2a-2 を解に持つ。
代入すると，
(-2a-2\()^{2}\)-b(-2a-2)+3=0
以上３つの式から，
(a,b,c)=(1,-4,6),(-3,4,-2)

すいません。いつもお世話になっております。
主夫さんに3427の再質問です。

（１）ですが、実数解をαと置き、共役な複素数1-iをもつので、
解と係数の関係より

α+(1+i)+(1-i)=-a
α(1+i)+α(1-i)+(1+i)(1-i)=b
α(1+i)(1-i)=-c
として、解くことはできないんでしょうか？

これだと、実数解は-a-2になってしまうのですが？？？

３の男さん

ごめんなさい。ご指摘どおりです。

拙解答の②の割り算が誤りで，正しくは
\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+bx+c=(x+a+2)(\(x^{2}\)-2x+2)+(2a+b+2)x+(c-2a-4)　…②
となりますので，この解法からも実数解はx=-a-2 です。

ところで，美しい解答をお望みとのことですので，私の主観で判断するならば，
貴方の解答の方がより美しいかと思います。
解と係数の関係に思いつかなかったときの救護策くらいに留めておいていただければと
思います。

（２）についても，
\(x^{2}\)-bx+3=0の式において解と係数の関係から，bをそれぞれαで表し，
x=αとb=2α+2を代入して解く方法が美しいかと思います。