xが整数のとき（\(\sqrt{\quad}\)3）・ｘは常に無理数です。

ａ，ｂが有理数のとき
ａ＋\(\sqrt{\quad}\)３・ｂは無理数であることは
大抵の参考書に書かれていることと思います。
ネットでも容易に検索できるでしょう。

したがって、ｘが整数値をとっても、ｙが整数になることはありません。
だから、格子点は通らないということになります。

背理法により証明します。
もし、y=\(\sqrt{\quad}\)3 * x のグラフが原点以外の格子点（m,n）を通るとする。
すると、
n=\(\sqrt{\quad}\)3 *mより
\(\sqrt{\quad}\)3 =\(\frac{n}{m}\)
ここで、m,nはともに0でない整数であるから
\(\frac{n}{m}\)は有理数である、しかし
\(\sqrt{\quad}\)3は無理数（このことは既知であるとするが）
であるので矛盾。
よって、y=\(\sqrt{\quad}\)3 * x のグラフは原点以外の格子点（m,n）を通らない。