2つの自然数の連続積は偶数である…(*1)
3つの自然数の連続積は3の倍数である…(*2)

(*1)(*2) より、 n(n+1)(n+2) は偶数かつ3の倍数。
よって、n(n+1)(n+2) は6の倍数である。


…というのが略解なのですが、
(*1)(*2) の部分が腑に落ちないと思いますのでそこを証明します。
(証明と言えるほど大げさなものではありませんが)


まず(*1) の証明。
2つの自然数の連続積は、ある自然数 n を用いて
n × (n+1) と表せます。

このとき、 n が奇数なら (n+1) は偶数、
(n+1) が奇数なら n は偶数ですから、
n × (n+1) はある偶数と奇数の積ですので、必ず偶数になります。


次に(*2) の証明。
3つの自然数の連続積は、ある自然数 n を用いて
n × (n+1) × (n+2) と表せます。
このどれか1つが3の倍数であることを示せれば勝ちな訳です。
一番簡単な方法は、

(ア) n が3で割って1余る数
(イ) n が3で割って2余る数
(ウ) n が3の倍数

で場合分けをしてみることじゃないかと思います。
やってみて下さい。


…とここまで書いてから言うのも何ですが、
質問＜３３７９＞ により分かりやすい解説が載っていました。
そちらも参照して下さい。

ｎは任意の自然数とする。
ｎ（ｎ＋1）（ｎ＋2）は６の倍数であることを示せ。

n, n+1, n+2 は連続する３つの整数であるから、一つは必ず偶数であり、
また一つは３の倍数であるから、その積は６の倍数である。
これじゃだめなんですか？


ならば丁寧に数学的帰納法でやることですかね。
いずれにせよ、連続する２つの整数の積が偶数であることが使えないと
やや面倒な証明になりそうな気がします。

こんにちは。参加します。

（ 答案 ）
（１）　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝Ｎ　の左辺は　３　個の連続した自然数の積であ
るから、　奇数*偶数*奇数、偶数*奇数*偶数　のいずれかの態様となり、　
ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２　のうち少なくとも　１　個は　２ｍ（ ｍ　は或る自然数 ）　
と書くことができる。

（２）　一方、同様に　Ｎ　は連続した　３　個の自然数の積であるから、それらの
自然数のうち　１　個は必ず　３　の倍数である。
なんとなれば、　ｎ　は　３ｌ－２、３ｌ－１、３ｌ　（ ｌ　は或る自然数 ）　
のいずれかであるから、
（イ）　ｎ＝３ｌ－２　のときは　ｎ＋２＝（３ｌ－２）＋２＝３ｌ　が　
　　　　３　の倍数。
（ロ）　ｎ＝３ｌ－１　のときは　ｎ＋１＝（３ｌ－１）＋１＝３ｌ　が　
　　　　３　の倍数。
（ハ）　ｎ＝３ｌ　のときは　ｎ　が　３　の倍数。
などである。


（３）　このとき、
（イ）　ｎ＝２ｍ　であれば、
（イ－１）　ｎ　が　３　の倍数のときは　ｍ　が　３　の倍数となり、
　　　　　　N　が　６　の倍数であることが判る。
（イ－２）　ｎ　が　３　の倍数でないときは残りの　ｎ＋１　か　ｎ＋２　が
　　　　　　３　の倍数となり、　Ｎ　が　６　の倍数であることが判る。
（ロ）　あとの、　ｎ＋１＝２ｍ、ｎ＋２＝２ｍ　などのときも同様である。

というようなことでどうでしょうか。

（※赤字の部分は１０／２１にあったS~（社会人）さんからの訂正部分です。）