（１）
Q(α,α^2),R(β,β^2)とおく。（α＜β)
点PはQを接点とする接線：y=αx-(\(\frac{1}{2}\))α^2 と
　　 Rを接点とする接線：y=βx-(\(\frac{1}{2}\))β^2
との交点だから，これを連立すると，
P((α+β)/2,αβ/2)となる。…①

一方，Pは円\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=3上の点でもあるから，
P((\(\sqrt{\quad}\)3)cosθ,(\(\sqrt{\quad}\)3)sinθ)　…②
とおくこともできる。
したがって，①②より
α+β=(2\(\sqrt{\quad}\)3)cosθ,αβ=(2\(\sqrt{\quad}\)3)sinθ …③

Q(α,α^2),R(β,β^2)を通る直線は，
y={(α+β)/2}x-(\(\frac{1}{2}\))αβ　だから，
求める面積S
=∫[α→β]{{(α+β)/2}x-(\(\frac{1}{2}\))αβ-(\(\frac{1}{2}\))\(x^{2}\)}dx
=…
=(\(\frac{1}{12}\))(β-α\()^{3}\)　　　　（これは予想通りですね）

③より
(α+β\()^{2}\)={(2\(\sqrt{\quad}\)3)cosθ}^2
(β-α\()^{2}\)+4αβ=12co\(s^{2}\)θ
(β-α\()^{2}\)
=12co\(s^{2}\)θ-4*(2\(\sqrt{\quad}\)3)sinθ
=12(1-si\(n^{2}\)θ)-4*(2\(\sqrt{\quad}\)3)sinθ
=-12si\(n^{2}\)θ-8(\(\sqrt{\quad}\)3)sinθ+12　…④

S=(\(\frac{1}{12}\))(β-α\()^{3}\) は(β-α\()^{2}\)が最大のときSも最大になるので，
(∵α＜βよりβ-α＞0)
④を平方完成して
(β-α\()^{2}\)
=-12(sinθ+1/\(\sqrt{\quad}\)3\()^{2}\)+16
（この辺で計算ミスがないか是非チェックしてみてください。）
よってsinθ=-1/\(\sqrt{\quad}\)3のとき(β-α\()^{2}\)は最大値16をとる。
つまりβ-α=4
∴S(max)
=(\(\frac{1}{12}\))(β-α\()^{3}\)
=(\(\frac{1}{12}\))*\(4^{3}\)
=\(\frac{16}{3}\)


（２）
（１）同様，接点を(α,α^2),(β,β^2)とおく。（α＜β)
点PはQを接点とする接線：y=2αx-α^2 +1と
　　 Rを接点とする接線：y=2βx-β^2+1
との交点だから，これを連立すると，
P((α+β)/2,αβ)となる。
ところでPは直線y=x上の点でもあるから，
αβ=(α+β)/2　…①

面積S
=∫[α→(α+β)/2]{\(x^{2}\)+1-(2αx-α^2+1)}dx+∫[(α+β)/2→β]{\(x^{2}\)+1-(2βx-β^2+1)}dx
=∫[α→(α+β)/2](x-α\()^{2}\)dx+∫[(α+β)/2→β](x-β\()^{2}\)dx
=…
=(\(\frac{1}{12}\))(β-α\()^{3}\)

ここで①より
(αβ\()^{2}\)=(α+β\()^{2}\)/4
4(αβ\()^{2}\)=(β-α\()^{2}\)+4αβ
(β-α\()^{2}\)=4(αβ-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+1
S=(\(\frac{1}{12}\))(β-α\()^{3}\) は(β-α\()^{2}\)が最小のときSも最小になるので，
(∵α＜βよりβ-α＞0)
αβ=\(\frac{1}{2}\) のとき(β-α\()^{2}\)は最小値1をとる。
つまりβ-α=1
∴S(min)
=(\(\frac{1}{12}\))(β-α\()^{3}\)
=\(\frac{1}{12}\)