（１）
\(\sqrt{\quad}\)６が有理数であると仮定する。
\(\sqrt{\quad}\)６＝ｎ／ｍ（ｍとｎは互いに素な整数でｍ≠０）とおくことができる。
ｎ＝ｍ・\(\sqrt{\quad}\)６より
ｎ^2＝６ｍ^2・・・①
６ｍ^2は偶数だからｎ^2は偶数である。
奇数の平方は奇数だから、ｎは偶数でなければならない。
ここで、ｎ＝２ｋ（ｋは整数）とおくと①より
４ｋ^2＝６ｍ^2
２ｋ^2＝３ｍ^2
左辺は偶数であるから、ｍ^2は偶数でなければならない。
したがって、ｍも偶数でなければならない。
以上から、ｍ，ｎがともに偶数であることになり
ｍとｎは互いに素であることに矛盾する。
ゆえに、\(\sqrt{\quad}\)６が有理数であると仮定したことは誤りである。
よって、\(\sqrt{\quad}\)６は無理数である。

（２）
ｘ・\(\sqrt{\quad}\)２＋ｙ・\(\sqrt{\quad}\)３＝０の両辺に\(\sqrt{\quad}\)３をかけると
ｘ・\(\sqrt{\quad}\)６＋３ｙ＝０
もしｘ≠０ならば
\(\sqrt{\quad}\)６＝（－３ｙ）／ｘ・・・②
②の右辺は有理数だから\(\sqrt{\quad}\)６が無理数であることに矛盾する。
よってｘ＝０でなければならない。
このとき３ｙ＝０よりｙ＝０
以上から
ｘ＝ｙ＝０である。