こんにちは。一つの答案です。御参考にしてください。

（ 答案 ）
（１）　与式両辺の平方の差を見ると、
（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）^2－（｜ｘ＋ｙ｜）^2　…　（１）
＝（｜ｘ｜^2＋２｜ｘ｜｜ｙ｜＋｜ｙ｜^2）－（ｘ＋ｙ）^2
＝（ｘ^2＋２｜ｘｙ｜＋ｙ^2）－（ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2）
＝２（｜ｘｙ｜－ｘｙ）　…　（２）
＝２（｜ｘｙ｜－ｘｙ）*（｜ｘｙ｜＋ｘｙ）／（｜ｘｙ｜＋ｘｙ）　←（ ｜ｘｙ｜＋ｘｙ≠０ ）
＝２（｜ｘｙ｜^2－（ｘｙ）^2）／（｜ｘｙ｜＋ｘｙ）
＝０
また、　｜ｘｙ｜＋ｘｙ＝０　のときは　ｘｙ＝－｜ｘｙ｜≦０　から　－ｘｙ≧０
　で　｜ｘｙ｜－ｘｙ≧｜ｘｙ｜＋０≧０
したがって、　（２）≧０
よって、　（１）≧０　から
｛（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）＋｜ｘ＋ｙ｜｝｛（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）－｜ｘ＋ｙ｜｝≧０

（イ）　このとき、　ｘ，ｙ　のうち少なくとも一つが　０　でなければ　
　　　（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）＋｜ｘ＋ｙ｜＞０　であるから、
　　　（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）－｜ｘ＋ｙ｜≧０　で　｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧｜ｘ＋ｙ｜

（ロ）　一方、　ｘ＝ｙ＝０　のときは　｜ｘ｜＋｜ｙ｜＝｜ｘ＋ｙ｜＝０　である
　　　から、やはり　｜ｘ｜＋｜ｙ｜≧｜ｘ＋ｙ｜　で、このうちの等号が成り立つ。

（２）　
（イ）　（１）　で見たように、記号は常に成り立つから、記号が成り立つ
　　　ための十分条件をあえて言えば、　ｘ，ｙ　がともに実数であることである。また、
　　　与式は不等号がはいっているから、　ｘ，ｙ　はともに実数であることが必要であ
　　　る。（ 実は、　ｘ，ｙ　が複素数の場合は検証していません。どなたかお願い致し
　　　ます。 ）
（ロ）　また等号の成立は、　｜ｘ｜＋｜ｙ｜＝｜ｘ＋ｙ｜　の両辺を平方して　
　　　０≦｜ｘｙ｜＝ｘｙ　を得るから、　ｘ，ｙ　が同符号かまたは少なくとも一方が　
　　　０　であることが必要である。またこのとき、等号が成り立つことは自明であるから、
　　　これは十分条件でもある。

でどうでしょうか。