「偏微分に関する問題」 - 質問＜３４５６＞

質問＜３４５６＞

「「偏微分に関する問題」」

日付２００６／１０／３１

質問者さち

(1)次の関数を偏微分せよ。
　　z=log[y]x (logのyのx。log(yx)ではありません)

(2)z=f(x,y),x=rcosθ,y=rsinθ(r>θ)であるとき
・∂z/∂r,∂z/∂θを∂z/∂x,∂z/∂y,r,θで表せ。
・(∂z/∂x\()^{2}\)+(∂z/∂y\()^{2}\)=(∂z/∂r\()^{2}\)+1/\(r^{2}\)(∂z/∂θ\()^{2}\)
　　　が成り立つことを証明せよ。

(1)はyの位置が複雑になっただけで全く分からなくなって困っています。
(2)はとき方自体が全く分かりません。
読みにくくて申し訳ありませんが、アドバイス等よろしくおねがいします。

★希望★完全解答★

お便り

日付２００６／１１／３

回答者 juin

(1)z=log[y]x=(logx)/logy
∂z/∂x=1/(xlogy),∂z/∂y=(logx){-1/(logy\()^{2}\)}(\(\frac{1}{y}\))

(2)∂z/∂r=(∂z/∂x)cosθ+(∂z/∂y)sinθ
∂z/∂θ=(∂z/∂x)(-rsinθ)+(∂z/∂y)rcosθ
(\(\frac{1}{r}\))∂z/∂θ=(∂z/∂x)(-sinθ)+(∂z/∂y)cosθ
(∂z/∂r\()^{2}\)+{(\(\frac{1}{r}\))(∂z/∂θ)}^2=(∂z/∂x\()^{2}\)+(∂z/∂y\()^{2}\)