「YuKaN」さんと同じ質問ですが、詳しい解答を教えてください。お願いします。
G＝｛ｘ｜ｘ∈R、｜ｘ｜＜１｝とする。ｘ、ｙ∈G に対して
ｘ。ｙ＝（ｘ＋ｙ）/（１＋ｘｙ）
と定義する。
（１）ｘ、ｙ∈G について ｘ。ｙ∈Gを示せ。
（２）G の演算 。 は結合法則をみたすことを示せ。
★希望★完全解答★
「YuKaN」さんと同じ質問ですが、詳しい解答を教えてください。お願いします。
G＝｛ｘ｜ｘ∈R、｜ｘ｜＜１｝とする。ｘ、ｙ∈G に対して
ｘ。ｙ＝（ｘ＋ｙ）/（１＋ｘｙ）
と定義する。
（１）ｘ、ｙ∈G について ｘ。ｙ∈Gを示せ。
（２）G の演算 。 は結合法則をみたすことを示せ。
★希望★完全解答★
(1)
|1+xy|^2-|x+y|^2=1+2xy+(xy\()^{2}\)-(\(x^{2}\)+2xy+\(y^{2}\))=1-\(x^{2}\)-\(y^{2}\)+(xy\()^{2}\)
=(1-\(x^{2}\))(1-\(y^{2}\))＞0よって、|1+xy|^2＞|x+y|^2
|1+xy|＞|x+y|つまり、1＞|(x+y)/(1+xy)|
(2)
(xy)z={(x+y)/(1+xy)}z={(x+y)/(1+xy)+z}/[1+{(x+y)/(1+xy)}z]
=(x+y+z)/(1+xy+yz+zx)
x(yz)=x{(y+z)/(1+yz)}={x+(y+z)/(1+yz)}/[1+x{(y+z)/(1+yz)}]
=(x+y+z)/(1+xy+yz+zx)
だから、(xy)z=x(yz)