１つのサイコロを４回投げて、出た目の数を順にx1,x2,x3,x4 とする。
(１)x1＜x2＜x3となる確率を求めよ。
(2)x1＜x2かつx3≧x4となる確率を求めよ。
(3)x(k)≧x(k+1)となる最小の自然数ｋの期待値を求めよ。
但し、x1＜x2＜x3＜x4のときはk=4と定める。
(1)\(\frac{5}{27}\) (2)\(\frac{35}{144}\)
と出ました。（答えにあまり自信はありません。）
(3)が解りません。ご指導お願いします。
★希望★完全解答★
（１）
１２●の形は４通り
１３●の形は３通り
１４●の形は２通り
１５●の形は１通り
などと数え上げていくと
（４＋３＋２＋１）＋（３＋２＋１）＋（２＋１）＋１＝２０通り
よって求める確率は
２０／６^3＝２０／２１６＝５／５４・・・（答）
（２）
①ｘ1＜ｘ2となる確率は
ｘ1＝１のときは５通り
ｘ1＝２のときは４通り
・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｘ1＝５のときは１通り の計１５通り
よってその確率は
１５／３６＝５／１２
②ｘ3≧ｘ4となる確率は
ｘ1＝１のときは１通り
ｘ1＝２のときは２通り
・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｘ1＝６のときは６通り の計２１通り
よってその確率は
２１／３６＝７／１２
①の場合と②の場合は独立（互いに影響を受けない）から
求める確率は
（５／１２）×（７／１２）＝３５／１４４・・・（答）
（３）
ｋ＝４とき
ｘ1＜ｘ2＜ｘ3＜ｘ4 だから
そのようになる確率は
１２３●の形は３通り
１２４●の形は２通り
１２５●の形は１通り
１３４●の形は２通り
１３５●の形は１通り
１４５●の形は１通り
２３４●の形は２通り
２３５●の形は１通り
２４５●の形は１通り
３４５●の形は１通り の計１５通りだから
１５／６^4＝５／４３２
ｋ＝３のとき
ｘ1＜ｘ2＜ｘ3≧ｘ4 だから
例えば（１）における１２●の形の４通りはｘ3＝３，４，５，６の場合だから
３＋４＋５＋６＝１８通りある。
このように考えるとｋ＝３となるのは
（３＋４＋５＋６）＋（４＋５＋６）＋（５＋６）＋６
＋（４＋５＋６）＋（５＋６）＋６
＋（５＋６）＋６
＋６ ＝ １０５通り
よってｋ＝３となる確率は
１０５／６^4＝３５／４３２
ｋ＝２のとき
ｘ1＜ｘ2≧ｘ3 だから
例えば（２）におけるｘ1＝１のときの５通りは、ｘ2＝２，３，４，５，６の場合だから
２＋３＋４＋５＋６＝２０通りある。
このように考えるとｋ＝２となるのは
（２＋３＋４＋５＋６）＋（３＋４＋５＋６）＋（４＋５＋６）
＋（５＋６）＋６＝ ７０通り
よってｋ＝２となる確率は
７０／６^3＝３５／１０８
ｋ＝１のとき
ｘ1≧ｘ2 だから
６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１通りで
ｋ＝１となる確率は
２１／６^2＝７／１２
以上から求めるｋの期待値は
４×（５／４３２）＋３×（３５／４３２）＋２×（３５／１０８）＋１×（７／１２）
＝７３／４８・・・（答）
（２）がｋ＝３の場合であると考えそうになるかもしれませんね。
１６５４という順に目が出ると、（２）条件は満たしますが、ｋ＝２のケースになります。