サイコロの出た目だけ数直線上を正の方向に移動するゲームを考える。
ただし、８をゴールとしてちょうど８の位置へ移動した時にゲームを終了し、
８を超えた分についてはその数だけ戻る。
原点から始めて、
サイコロをｎ回投げ終えた時に８へ移動してゲームを終了する確率をＰｎとおく。
(1)Ｐ2を求めよ。
(2)Ｐ3を求めよ。
(3)４以上のすべてのｎに対してＰｎを求めよ。
(1)\(\frac{5}{36}\) (2)\(\frac{31}{216}\) は求まりました。(3)が解りません。ご指導願います。
★希望★完全解答★
（１）と（２）は正解のようです。
（３）
ｎ回目に８にあるのだから、ｎ－１回目までは８にあってはならない。
ｎ－１回目に８に移動する確率は Ｐ(n-1)だから
ｎ－１回目に８にない確率は １－Ｐ(n-1) である。
ｎ≧４のとき
ｎ－１回目には、数直線上の３，４，５，６，７のどれかに移動している。
（※０，１，２に移動することはない。
なぜなら、ｎ－１回目に７にあったとして、ｎ回目にサイコロの目が６ならば
３まで戻るので、どんな場合でも０，１，２に移動することはない。）
また、ｎ－１回目に、３，４，５，６，７のどこにあっても、ｎ回目に８に移動する確率は１／６
以上から
ｎ－１回目に８になく、ｎ回目に８に移動する確率、すなわちＰ（n）は
漸化式 P(n)＝（１／６）｛１－P(n-1)｝ （ｎ≧４） を満たす。
特性方程式 α＝（１／６）（１－α） を解くと、α＝１／７
よって、ｎ≧４のとき
P(n)－（１／７）＝（－１／６）｛P(n-1)－（１／７）｝
＝（－１／６）^2｛P(n-2)－（１／７）｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＝（－１／６）^(n-3)｛P(3)－（１／７）｝
＝（－１／６）^(n-3)・（１／１５１２）
＝（－１／７）（－１／６）^n
∴ P(n)＝（１／７）｛１－（－１／６）^n｝・・・（答）
(※これはｎ＝２，３のときも成り立つ）