ｘ^2の係数は　－２２８　ではなく　＋２２８　の誤りと思われます。

ｘ^6＋２ｘ^5－３８ｘ^4＋２２８ｘ^2＋７２ｘ－２１６＝０・・・①
ｘ＝０は①の解ではないので、ｘ≠０
①の両辺をｘ^3で割って整理すると
ｘ^3－（２１６／ｘ^3）＋２｛ｘ^2＋（３６／ｘ^2）｝－３８｛ｘ－（６／ｘ）｝＝０

ｚ＝ｘ－（６／ｘ）とおくと
ｘ^3－（２１６／ｘ^3）＝｛ｘ－（６／ｘ）｝｛ｘ^2＋６＋（３６／ｘ^2）｝
　　　　　　　　　　　 ＝｛ｘ－（６／ｘ）｝〔｛ｘ－（６／ｘ）｝^2＋１８〕
　　　　　　　　　　　 ＝ｚ^3＋１８ｚ
ｘ^2＋（３６／ｘ^2）＝｛ｘ－（６／ｘ）｝^2＋１２＝ｚ^2＋１２
∴ｚ^3＋２ｚ^2－２０ｚ＋２４ｚ＝０
（ｚ＋６）（ｚ－２）^2＝０
ｚ＝－６，２（重解）
ｘ－（６／ｘ）＝－６から　ｘ^2＋６ｘ－６＝０・・・②
ｘ－（６／ｘ）＝２から　ｘ^2－２ｘ－６＝０・・・③
②③より
ｘ＝－３\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)１５，１\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)７（複合はともに重解）・・・（答）

ひょっとして問題文に誤りはありませんか？
\(x^{6}\)+2\(x^{5}\)-38\(x^{4}\)-228\(x^{2}\)+72x-216=0
ではなく，
\(x^{6}\)+2\(x^{5}\)-38\(x^{4}\)+228\(x^{2}\)+72x-216=0
の誤りだとして勝手にやってみます．（間違ってたらごめんなさい）

x=0はこの解にはならないので，与式を\(x^{3}\)で割ると，
\(x^{3}\)+2\(x^{2}\)-38x+\(\frac{228}{x}\)+72/(\(x^{2}\))-216/(\(x^{3}\))=0
こうするとヒントの形がピンとくるはずです．
特に-216/(\(x^{3}\))=(-\(\frac{6}{x}\)\()^{3}\)なので，zを代入できる形に変形していきます．
まずは並べ替えて，
\(x^{3}\)-216/(\(x^{3}\))+2{\(x^{2}\)+36/(\(x^{2}\))}-38x+\(\frac{228}{x}\)=0
(x-\(\frac{6}{x}\)\()^{3}\)+18x-\(\frac{108}{x}\)+2{(x-\(\frac{6}{x}\)\()^{2}\)+12}-38x+\(\frac{228}{x}\)=0
(x-\(\frac{6}{x}\)\()^{3}\)+2(x-\(\frac{6}{x}\)\()^{2}\)+24-20x+\(\frac{120}{x}\)=0
(x-\(\frac{6}{x}\)\()^{3}\)+2(x-\(\frac{6}{x}\)\()^{2}\)+24-20(x-\(\frac{6}{x}\))=0
これでようやくz=x-\(\frac{6}{x}\)を代入できる形になりました．
\(z^{3}\)+2\(z^{2}\)-20z+24=0
因数定理を用いて，
(z+6)(z-2\()^{2}\)=0
∴z=2,-6
ⅰ) x-\(\frac{6}{x}\)=2　のとき
両辺をx倍して整理すると，
\(x^{2}\)-2x-6=0
x=1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)7
ⅱ) x-\(\frac{6}{x}\)=-6 のとき，
両辺をx倍して整理すると，
\(x^{2}\)+6x-6=0
x=-3\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)15