いつもお世話になっています。
① ｘ＞０のとき、任意のｎ（ｎは自然数）に対し
\(e^{x}\) ＞ Σ（\(x^{k}\)/k!） (ΣはK=0からｎまで)
が成り立つことを示せ。
テイラー展開を用いる以外の証明方法に関してアドバイスお願いします。
② 任意のｎ（ｎは自然数）に対し
lim(x→＋∞)（\(x^{n}\)/\(e^{x}\)）=0
が成り立つことを示せ。
ロピタル以外の証明方法に関してアドバイスお願いします。
よろしくお願いします
★希望★完全解答★
① f(x)=(左辺)-(右辺) とおいて
任意のｎに対し、f(x)がx＞0において単調増加であることを示せばよい。
微分や数学的帰納法などを用いる
② ①を用いてはさみうち
(1)数学的帰納法による。
n=0のとき。\(e^{0}\)=1,(\(e^{x}\)-1)'=\(e^{x}\)＞0だから、\(e^{x}\)＞1
nまで成り立つとする。つまり、\(e^{x}\)＞Σ[k=1,n]\(x^{k}\)/k!
n+1のとき。\(e^{0}\)=1=Σ\(0^{k}\)/k!
(\(e^{x}\)-Σ[k=0,n+1]\(x^{k}\)/k!)'=\(e^{x}\)-Σ[k=0,n]\(x^{k}\)/k!＞0「帰納法の仮定による」
よって、\(e^{x}\)＞Σ[k=o,n+1]\(x^{k}\)/k!
(2)
(1)の結果を使う。
\(x^{n}\)/\(e^{x}\)＜\(x^{n}\)/{Σ[k=0,n+1]\(x^{k}\)/k!}＜\(x^{n}\)/{x^(n+1)/(k+1)!}→0 (as x→∞)