x＝r cosθ,y＝r sinθのとき、
２変数関数　u＝u(x,y)　に対し次の等式が成立することは既知とする。
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＝∂^2u/∂r2＋(\(\frac{1}{r}\))∂u/∂r＋(\(\frac{1}{r}\))2∂^2u/∂θ^2
r,θ を　ρ、ψ　に置き換えると
x＝ρcosψ、y＝ρsinψ　のとき
３変数関数　u＝u(x,y,z)　に対し次の等式が成立する.
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＝∂^2u/∂ρ^2＋(1/ρ)∂u/∂ρ＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2
両辺に　∂^2u/∂z2　を加えると
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＋∂^2u/∂z2
　　　＝∂^2u/∂z2＋∂^2u/∂ρ^2＋(1/ρ)∂u/∂ρ＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2
更に z=rcosθ、ρ＝rsinθ　とすると 　
既知式で、x,y を　z,ρに代えて
∂^2u/∂z2＋∂^2u/∂ρ^2＝∂^2u/∂r2＋(\(\frac{1}{r}\))∂u/∂r＋(\(\frac{1}{r}\))2∂^2u/∂θ^2　----- (1)

また ∂u/∂r＝cosθ∂u/∂z＋sinθ∂u/∂ρ
∂u/∂θ＝-rsinθ∂u/∂z＋rcosθ∂u/∂ρ
∂u/∂z　を消去すると
∂u/∂ρ＝sinθ∂u/∂r＋(cosθ/r)∂u/∂θ　-----(2)

(1) (2) を代入すると
∂^2u/∂x2＋∂^2u/∂y2＋∂^2u/∂z2
　　　＝[∂^2u/∂r2＋(\(\frac{1}{r}\))∂u/∂r＋(\(\frac{1}{r}\))2∂^2u/∂θ^2]
　　　　　　　＋(1/ρ)[sinθ∂u/∂r＋(cosθ/r)∂u/∂θ]＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2
　　　＝∂^2u/∂r2＋(\(\frac{2}{r}\))∂u/∂r＋(\(\frac{1}{r}\))2∂^2u/∂θ^2
　　　　　　　＋(cosθ/\(r^{2}\)sinθ)∂u/∂θ＋(1/ρ)2∂^2u/∂ψ^2
これは、問題の右辺と一致する。