曲線 Ｃ： z=z(t)=x(t)+iy(t) （a≦t≦b）
は閉集合であることを示せ。
教科書の問題なのですが、全く解答が思い浮かびません(＞_＜)
ちなみにこのテキストでは
『Ａの余集合が開集合のとき、Ａは閉集合である』
が閉集合の定義であり、
『開集合は内点のみからなる集合』、『Ｂ(α：ε)=｛z∈複素数｜|z-α|＜ε｝、こ
れをαのε近傍という』、『集合Ａ⊂複素数が与えられたとき、z0∈複素数 に対し
て、ε＞0が存在して、Ｂ(z0：ε)⊂Ａとなるとき、z0をＡの内点という』がそれぞ
れの定義です。
どうぞよろしくお願いします(＞_＜)
★希望★完全解答★
z:[0,1]\(\vec{C}\)は、連続関数である。
曲線C上に無い点αをとり、f(t)=|z(t)-α|を考えると、f(t)＞0である。
f(t)は、[0,1]上の連続関数だから、最小値m＞0をとる。
ε=\(\frac{m}{2}\)とすれば、B(α;ε)∩C=φとなる。よって、Cの補集合内の点αは、
内点である。だから、Cは、閉集合である。
juinさん、ありがとうございます☆
ところで、その場合だと、αが曲線上にないことになっていますが、
もし曲線上にある時はどうなるのでしょうか？
絶対に曲線外にあるのならば理由を教えていただきたいです(＞_＜)
そこがどうしてもわからなくて・・・・
よろしくお願いします☆
「Cの補集合が開集合であるとき、Cが閉集合である」
Cの補集合から、点αを選ぶので、αは曲線C上にはない。