「確率変数の収束」 - 質問＜３４７７＞

質問＜３４７７＞

「「確率変数の収束」」

日付２００６／１２／１１

質問者 guzzi

初めての質問です。よろしくお願いします。

独立な確率変数の列\(X_{1}\)，\(X_{2}\)，…が確率分布
P（\(X_{n}\)-1=-n)=1/\(n^{2}\)，P(\(X_{n}\)-1=n/(\(n^{2}\)-1))=1-(1/\(n^{2}\))
をもつとき，
Σ（ｊ=1)^(n)X_ｊはｎ→∞のとき∞に概収束することを示せ．

ヒント
平均値E（\(X_{n}\))=0　(n≧1)
事象\(A_{n}\)=(\(X_{n}\)-1=n) (n≧2)とおく．
Σ（n=2)^(∞)P(\(A_{n}\))=Σ(n=2)^(∞)1/\(n^{2}\)＜∞であるからボレル・カンテリの定理を
用いる．

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り

日付２００６／１２／１７

回答者 juin

An={Xn-1=-n},ΣP(An)＜∞
Borel-Cantelliの第１定理より、P(limsupAn)=0
すなわち、P(liminfA\(n^{c}\))=1
liminfA\(n^{c}\)=∪[N=2,∞]∩[n=N,∞]{Xn-1=n/(\(n^{2}\)-1)}
ω∈liminfA\(n^{c}\)に対して、あるNが存在して
ω∈∩[n=N,∞]{Xn-1=n/(\(n^{2}\)-1)}だから、
Σ[n=N,∞]Xn(ω)=Σ[n=N,∞]n/(\(n^{2}\)-1)＞Σ[n=N,∞]\(\frac{1}{n}\)=∞