正の整数からなる整列{\(a_{n}\)}を\(a_{n}\)=(13\()^{n}\)+2*(23)^(n-1)で定める。
① \(a_{1}\),\(a_{2}\)を求め、それぞれを因数分解せよ
② \(a_{n}\)(n=1,2,3,・・・)のすべてに共通する素因数が存在することを、
数学的帰納法を用いて示せ。
★希望★完全解答★
正の整数からなる整列{\(a_{n}\)}を\(a_{n}\)=(13\()^{n}\)+2*(23)^(n-1)で定める。
① \(a_{1}\),\(a_{2}\)を求め、それぞれを因数分解せよ
② \(a_{n}\)(n=1,2,3,・・・)のすべてに共通する素因数が存在することを、
数学的帰納法を用いて示せ。
★希望★完全解答★
（１）の問題は素因数分解の誤りでしょう．
\(a_{1}\)=15=3*5
\(a_{2}\)=215=5*43
（２）
（１）の結果から，\(a_{n}\)を素因数分解すると，５が共通すると仮定します．
n=1のとき，（１）の結果より成立する．
次に，\(a_{k}\)=1\(3^{k}\)+2*23^(k-1)=5N と表せるものと仮定します．
n=k+1のとき，
a_(k+1)
=13^(k+1)+2*2\(3^{k}\)
=13*1\(3^{k}\)+2*23*23^(k-1)
=13*1\(3^{k}\)+(13*2+20)*23^(k-1)
=13{1\(3^{k}\)+2*23^(k-1)}+20*23^(k-1)
=13*5N+5*4*23^(k-1)
=5{13N+4*23^(k-1)}
よってn=k+1のときも成立する．
以上から，すべての自然数について，\(a_{n}\)を素因数分解すると，５が共通して
存在することが証明された．