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内積ａ・ｂは２つのベクトルの積で、答えはスカラーとなる。
スカラーとは向きをもたない大きさだけの量で，ベクトルとは
異なるものとなる。このスカラーとベクトルの内積はできない
ので、上記のような変形は残念ながらできないわけである。
　しかし、この問題はどうやって解くのでしょうか？
ＳＯＳ！誰かアドバイスを………
※ｄ３さんから３年ぶりの未解決問題へアドバイスを頂きました。
感謝！！

ご無沙汰しています．
久しぶりに来たらえらいことになっていますね．
・・質問３５についてですがどう考えてもできません．何か他に
条件などがあるような気もします．
ベクトルa,b,cの大きさ，なす角の６つの未定事項が
あるわけだから．．と考えてもわかりません．くやしいです．
解法がわかれば教えて下さい．

面倒なので小文字はすべてベクトルとします．
x・yは内積を表します．
p=4a，q=5b，r=3c　とすると，
条件の式は，
p・q：q・r：r・p＝1：1：1，|r|=12　となります．
すると，例えば，
どのふたつのベクトルもなす角が等しく，
大きさが12のp,qを，
選べば，このp,q,rは上の条件を満たします．
なす角については，0度から120度まで選べます．
（比を問題にするなら内積が0になる90度のときを除くかも）
イメージは，
正三角形（底面）に，
二等辺三角形３枚（底辺をその正三角形の一辺とする）を
張り合わせた三角錐で，
その頂点から底面の３頂点に伸びる３つのベクトル
です．
（120度のときは正三角形の重心から３頂点までの３つのベクトル）

ほかにも条件を満たすものがあるのでしょうか？
（とくに大きさが不揃いのものが存在するのでしょうか？）

もし存在しないのなら，
上の事実から，a,bの大きさは，3，\(\frac{12}{5}\)　になります．

条件が，少ないかも？と思います．

もし違うのでしたら，
「　p=4a，q=5b，r=3c　とすると，
　　条件の式は，
　　p・q：q・r：r・p＝1：1：1，|r|=12　となります．」
から，よろしくお願いします．
これ以降はちょっと考えましたが．．．．
いかがでしょうか？